Θέμα 43

ghan · #1

Να υπολογισθεί το $\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+x\sin x}-\cos x}{{{\displaystyle\sin }^{2}}\frac{x}{2}}$

#2

ghan έγραψε:Να υπολογισθεί το $\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+x\sin x}-\cos x}{{{\displaystyle\sin }^{2}}\frac{x}{2}}$

$\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+x\sin x}-\cos x}{{{\displaystyle\sin }^{2}}\frac{x}{2}}=$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x+\sin^2 x}{\sin^2{\frac{x}{2}}(\sqrt{1+x\sin x}+\cos x)}}=}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{2\cos{\frac{x}{2}}(x+\sin x)}{\sin{\frac{x}{2}}(\sqrt{1+x\sin x}+\cos x)}}=$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{4\cos{\frac{x}{2}}(1+\cancelto{1}{\frac{\sin x}{x}})}{\cancelto{1}{\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}}(\sqrt{1+x\sin x}+\cos x)}}=4$

ghan · #3

Φωτεινή έγραψε:
ghan έγραψε:Να υπολογισθεί το $\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+x\sin x}-\cos x}{{{\displaystyle\sin }^{2}}\frac{x}{2}}$
$\displaystyle\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+x\sin x}-\cos x}{{{\displaystyle\sin }^{2}}\frac{x}{2}}=$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x+\sin^2 x}{\sin^2{\frac{x}{2}}(\sqrt{1+x\sin x}+\cos x)}}=}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{2\cos{\frac{x}{2}}(x+\sin x)}{\sin{\frac{x}{2}}(\sqrt{1+x\sin x}+\cos x)}}=$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{4\cos{\frac{x}{2}}(1+\cancelto{1}{\frac{\sin x}{x}})}{\cancelto{1}{\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}}(\sqrt{1+x\sin x}+\cos x)}}=4$

Ευχαριστώ τη Φωτεινή.

Θέμα 43

Θέμα 43

Re: Θέμα 43

Re: Θέμα 43

Μέλη σε σύνδεση