ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. α) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των παραγωγίσιμων συναρτήσεων και γνωρίζοντας ότι η συνάρτηση ${{e}^{x}}$ παραγωγίζεται στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ,
δείξτε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{\lambda {{e}^{x}}-(1+\lambda ){{e}^{-x}}}{1+{{e}^{x}}}}$ όπου $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ παραγωγίζεται στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .
β) Με τη βοήθεια της παραγώγου της $\displaystyle{f}$ να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{\lambda }$ για τις οποίες η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι φθίνουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

2. α) Ένα πολυώνυμο $\displaystyle{\sigma(x)}$ βαθμού $\displaystyle{\nu}$ λαμβάνει την ίδια τιμή $\displaystyle{\xi}$ για $\displaystyle{\nu+1}$ τουλάχιστον διαφορετικές τιμές του $\displaystyle{x}$ .
Να δείξετε ότι το $\displaystyle{\sigma(x)}$ είναι ένα σταθερό πολυώνυμο.
β) Έστω ότι ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},\ldots ,{{\alpha }_{\nu }}$ είναι ακέραιοι διαφορετικοί ανά δυο.
Να δείξετε ότι το πολυώνυμο ${{(x-{{\alpha }_{1}})}^{2}}{{(x-{{\alpha }_{2}})}^{2}}\cdots {{(x-{{\alpha }_{\nu }})}^{2}}+1$ δεν έχει πραγματικές ρίζες
και ότι αυτό δεν μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο δυο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και με βαθμούς $\ge 1$ .

3. α) α) Σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει σχέση $\displaystyle{\sigma \phi A + \sigma \phi B+ \sigma \phi \Gamma=\frac {\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{4E}}$
β) Εξωτερικά ενός τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ φέρνουμε ευθείες που σχηματίζουν με τις πλευρές ίσες γωνίες $\displaystyle{ \phi}$ και έχουν τον ίδιο πρασανατολισμό.
Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο που σχηματίζουν αυτές οι ευθείες είναι όμοιο με το $\displaystyle{AB\Gamma}$ και να βρεθεί ο λόγος ομοιότητας συναρτήσει της γωνίας $\displaystyle{ \phi}$ .

Υ.Γ. Δώρο για την 3β) το σχήμα από τον Μπάμπη :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

edit
Προσθήκη θέματος 3

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:
2. α) Ένα πολυώνυμο $\displaystyle{\sigma(x)}$ βαθμού $\displaystyle{\nu}$ λαμβάνει την ίδια τιμή $\displaystyle{\xi}$ για $\displaystyle{\nu+1}$ τουλάχιστον διαφορετικές τιμές του $\displaystyle{x}$ .
Να δείξετε ότι το $\displaystyle{\sigma(x)}$ είναι ένα σταθερό πολυώνυμο.
β) Έστω ότι ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},\ldots ,{{\alpha }_{\nu }}$ είναι ακέραιοι διαφορετικοί ανά δυο.
Να δείξετε ότι το πολυώνυμο ${{(x-{{\alpha }_{1}})}^{2}}{{(x-{{\alpha }_{2}})}^{2}}\cdots {{(x-{{\alpha }_{\nu }})}^{2}}+1$ δεν έχει πραγματικές ρίζες
και ότι αυτό δεν μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο δυο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και με βαθμούς $\ge 1$ .

α)Θεωρία;

ή

Έστω $p(x)=\sigma(x)-\xi$ , τότε το p(x)

είναι βαθμού $\nu$ και έχει $\nu+1$ ρίζες , άρα μηδενικό , επομένως $\sigma(x)=\xi$ .

β)
Έστω $f(x)=(x-{{\alpha }_{1}})}^{2}}{{(x-{{\alpha }_{2}})}^{2}}\cdots {{(x-{{\alpha }_{\nu }})}^{2}+1$ .
Είναι $(x-{{\alpha }_{1}})}^{2}}{{(x-{{\alpha }_{2}})}^{2}}\cdots {{(x-{{\alpha }_{\nu }})}^{2}\geq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , άρα $f(x)\geq 1>0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , άρα δεν έχει πραγματικές ρίζες .

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν πολυώνυμα $A(x)\;,\;B(x)$ με ακέραιους συντελεστές και με βαθμούς $\ge 1$ ώστε f(x)=A(x)B(x)

.

Επειδή f(x)>0

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , θα είναι A(x)>0

και

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ή A(x)<0

και

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Θα εργαστούμε με την περίπτωση A(x)>0

και

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , η άλλη είναι ανάλογη.

Επειδή ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του f(x)

είναι

και $A(x)>0\;,\;B(x)>0$ , το ίδιο θα ισχύει και για τα $A(x)\;,\;B(x)$ .

Ο βαθμός του f(x)

είναι $2\nu$ , άρα ένα τουλάχιστον από τα $A(x)\;,\;B(x)$ θα έχει βαθμό $\leq \nu$ (έστω το A(x)

).

Επίσης $A(\alpha_i)B(\alpha_i)=f(\alpha_i)=1\;,\;i=1,2,\dots,\nu$ .

Αλλά ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},\ldots ,{{\alpha }_{\nu }}$ είναι ακέραιοι , άρα $A(\alpha_i)\;,\;B(\alpha_i)$ ακέραιοι , επομένως $A(\alpha_i)=1$ και $B(\alpha_i)=1$ , για κάθε $i=1,2,\dots,\nu$ .

Αν ο βαθμός του A(x)

είναι $<\nu$ , τότε το A(x)

παίρνει την ίδια τιμή για $\nu$ διαφορετικές τιμές του

, και σύμφωνα με το (α) θα είναι σταθερό (ΑΤΟΠΟ , αφού υποθέσαμε ότι έχει βαθμό $\geq 1$ ).

Αν ο βαθμός του A(x)

είναι $\nu$ , τότε:

και του B(x)

είναι $\nu$ και

Τα πολυώνυμα $A(x)-1\;,\;B(x)-1$ θα έχουν ρίζες τους $\alpha_i\;,\;i=1,2,\dots,\nu$ , άρα
$A(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_{\nu})+1$ , $B(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_{\nu})+1$ επομένως

f(x)=A(x)B(x)=

$=(x-\alpha_1)^2(x-\alpha_2)^2\cdots(x-\alpha_{\nu})^2+$
$+(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_{\nu})+(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_{\nu})+1=$
=f(x)+A(x)+B(x)

,

οπότε A(x)+B(x)=0

, ΑΤΟΠΟ αφού A(x)>0

και

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:2. α) Ένα πολυώνυμο $\displaystyle{\sigma(x)}$ βαθμού $\displaystyle{\nu}$ λαμβάνει την ίδια τιμή $\displaystyle{\xi}$ για $\displaystyle{\nu+1}$ τουλάχιστον διαφορετικές τιμές του $\displaystyle{x}$ .
Να δείξετε ότι το $\displaystyle{\sigma(x)}$ είναι ένα σταθερό πολυώνυμο.
β) Έστω ότι ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},\ldots ,{{\alpha }_{\nu }}$ είναι ακέραιοι διαφορετικοί ανά δυο.
Να δείξετε ότι το πολυώνυμο ${{(x-{{\alpha }_{1}})}^{2}}{{(x-{{\alpha }_{2}})}^{2}}\cdots {{(x-{{\alpha }_{\nu }})}^{2}}+1$ δεν έχει πραγματικές ρίζες
και ότι αυτό δεν μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο δυο πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και με βαθμούς $\ge 1$ .

β) εδώ κι εδώ

προσθήκη παραπομπής

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (+)

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (+)

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1974 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (+)

Μέλη σε σύνδεση