Και γεωμετρία και άλγεβρα.
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Και γεωμετρία και άλγεβρα.
Σε ένα τρίγωνο στο οποίο ισχύει είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας .
Αν είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση , όπου
(πλεύρες του τριγώνου δηλαδή). Βρείτε όλες τις πιθανές τιμές που μπορεί να λάβει ο αριθμός .
Αν είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση , όπου
(πλεύρες του τριγώνου δηλαδή). Βρείτε όλες τις πιθανές τιμές που μπορεί να λάβει ο αριθμός .
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Και γεωμετρία και άλγεβρα.
Καλησπέρα.
Έστω ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός . Για να ισχύει η ισότητα, θα πρέπει .
Έστω και η εξίσωση γράφεται:
Όμως, , διότι η γωνία μη οξεία, και από Cauchy-Schwartz ισχύει:
.
Θέτω και παίρνω:
.
Αν ήταν , θα παίρναμε
άτοπο.
Άρα, κι επειδή , θα πρέπει .
Επομένως,
Άρα,
και οι τιμές που μπορεί να πάρει το είναι οι αντίθετες των 2 παραπάνω.
Για το ότι μπορεί να πάρει τις 2 αυτές τιμές, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι όλες οι ανισότητες μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα ως ισότητες.
Πράγματι, αν , το τρίγωνο ορθογώνιο, οπότε και επιλέγουμε κατάλληλα τα , ώστε να ισχύει η ισότητα στην Cauchy Schwartz. Θα πρέπει
κι επειδή , μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς τα , πράγμα που, ωστόσο, δε ζητείται.
Έστω ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός . Για να ισχύει η ισότητα, θα πρέπει .
Έστω και η εξίσωση γράφεται:
Όμως, , διότι η γωνία μη οξεία, και από Cauchy-Schwartz ισχύει:
.
Θέτω και παίρνω:
.
Αν ήταν , θα παίρναμε
άτοπο.
Άρα, κι επειδή , θα πρέπει .
Επομένως,
Άρα,
και οι τιμές που μπορεί να πάρει το είναι οι αντίθετες των 2 παραπάνω.
Για το ότι μπορεί να πάρει τις 2 αυτές τιμές, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι όλες οι ανισότητες μπορούν να ισχύουν ταυτόχρονα ως ισότητες.
Πράγματι, αν , το τρίγωνο ορθογώνιο, οπότε και επιλέγουμε κατάλληλα τα , ώστε να ισχύει η ισότητα στην Cauchy Schwartz. Θα πρέπει
κι επειδή , μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς τα , πράγμα που, ωστόσο, δε ζητείται.
Κώστας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSN [Bot] και 7 επισκέπτες