Ανίσωση , εκ πρώτης όψεως απλή

KARKAR · #1

Ο

είναι ένας ( σταθερός ) μη αρνητικός αριθμός . Να λυθεί η ανίσωση : $x+\sqrt{a}>a+\sqrt{x}$

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 01, 2023 10:22 am
Ο είναι ένας ( σταθερός ) μη αρνητικός αριθμός . Να λυθεί η ανίσωση : $x+\sqrt{a}>a+\sqrt{x}$

Ισοδύναμα, για $x \ge 0$ :

$\displaystyle{ x + \sqrt{a} > a + \sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x}^2 - \sqrt{a}^2 - \Bigl( \sqrt{x} - \sqrt{a} \Bigr) > 0 \Leftrightarrow \Bigl( \sqrt{x} - \sqrt{a} \Bigr)\biggl[ \sqrt{x} - \Bigl(1 - \sqrt{a} \Bigl) \biggr] > 0 }$

Διακρίνω τις εξής περιπτώσεις για τη διάταξη των ριζών $\sqrt{a}$ , $1- \sqrt{a}$ :

$1 - \sqrt{a} \ge \sqrt{a} \ge 0 \Leftrightarrow \boxed{0 \le a \le \dfrac{1}{4}}$ . Τότε:

$\displaystyle{ 0 \le \sqrt{x} < \sqrt{a} \text{ \textgreek{ή} } \sqrt{x} > 1 - \sqrt{a} \Leftrightarrow \boxed{0 \le x < a \quad \text{ \textgreek{ή} } \quad x > a + 1 - 2 \sqrt{a}} }$
‎
‎
$\sqrt{a} > 1 - \sqrt{a} \ge 0 \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{1}{4} < a \le 1}$ . Τότε:

$\displaystyle{ 0 \le \sqrt{x} < 1 - \sqrt{a} \text{ \textgreek{ή} } \sqrt{x} > \sqrt{a} \Leftrightarrow \boxed{0 \le x < a + 1 - 2 \sqrt{a} \quad \text{ \textgreek{ή} } \quad x > a} }$
‎
‎
$\sqrt{a} > 0 > 1 - \sqrt{a} \Leftrightarrow \boxed{a > 1}$ . Τότε $\boxed{x > a}$ .

Ανίσωση , εκ πρώτης όψεως απλή

Ανίσωση , εκ πρώτης όψεως απλή

Re: Ανίσωση , εκ πρώτης όψεως απλή

Μέλη σε σύνδεση