Καθετότητα ευθειών
Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros
Καθετότητα ευθειών
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο , , και , είναι το περίκεντρο και το ορθόκεντρο, αντίστοιχα. Έστω το μέσο της πλευράς , έστω το σημείο τομής της επέκτασης της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του , και έστω το σημείο τομής της και της . Να δειχθεί ότι αν , τότε .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Καθετότητα ευθειών
Ως γνωστών η τομή του με την είναι το point και .
Άρα το κέντρο του είναι πάνω στην και είναι το συμμετρικό του ως προς .
Έτσι αν το ίχνος του ύψους από το τότε αφού μέσο και έχω άρα όπου η τομή με .
Τώρα , θεωρώ "συμμετρία" ως προς τη διχοτόμο της (διατηρεί διπλό λόγο), οπότε αλλάζουν μεταξύ τους θέσεις και πάει αλλά μέσον αφού έτσι η συμμετρική της προς τη διχοτόμο της είναι η παράλληλη προς τη , αλλά αυτό γίνεται όταν η είναι η εφαπόμενη στον περίκυκλο στο και τώρα το ζητούμενο είναι άμεσο μιας και η από την υπόθεση είναι συμμετροδιάμεσος και είναι και η πολική του προς τον περίκυκλο οπότε θα πρέπει .
- Συνημμένα
-
- 52.PNG (77.34 KiB) Προβλήθηκε 1185 φορές
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα ευθειών
Η λύση του Πρόδρομου είναι πολύ συνθετική για τα γούστα μου, οπότε γράφω μία με bash
Αρχικά, είναι
και αφού , το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς το .
Τώρα, αφού η είναι η συμμετροδιάμεσος. Από το Ratio Lemma και τις ιδιότητες τις συμμετροδιάμεσου έχουμε ότι
και άρα συνεπώς
και αφού προκύπτει ότι .
Έστω τώρα ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την στο σημείο .
Ισχυρισμός: Τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Απόδειξη: Είναι,
και
οπότε . Για να δείξουμε λοιπόν ότι τα δύο τρίγωνα είναι όμοια, αρκεί να δείξουμε ότι
.
Είναι,
Επιπλέον, τα τρίγωνα και είναι όμοια, συνεπώς οπότε εύκολα προκύπτει ότι που δίνει πως
και .
Έτσι,
Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι η ισοδύναμα ότι που έχουμε αποδείξει ότι ισχύει
Στο πρόβλημα από το αποτέλεσμα του Ισχυρισμού είναι
συνεπώς
και άρα που δίνει ότι οι και είναι κάθετες, όπως δηλαδή θέλαμε.
Αρχικά, είναι
και αφού , το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς το .
Τώρα, αφού η είναι η συμμετροδιάμεσος. Από το Ratio Lemma και τις ιδιότητες τις συμμετροδιάμεσου έχουμε ότι
και άρα συνεπώς
και αφού προκύπτει ότι .
Έστω τώρα ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει την στο σημείο .
Ισχυρισμός: Τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Απόδειξη: Είναι,
και
οπότε . Για να δείξουμε λοιπόν ότι τα δύο τρίγωνα είναι όμοια, αρκεί να δείξουμε ότι
.
Είναι,
Επιπλέον, τα τρίγωνα και είναι όμοια, συνεπώς οπότε εύκολα προκύπτει ότι που δίνει πως
και .
Έτσι,
Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι η ισοδύναμα ότι που έχουμε αποδείξει ότι ισχύει
Στο πρόβλημα από το αποτέλεσμα του Ισχυρισμού είναι
συνεπώς
και άρα που δίνει ότι οι και είναι κάθετες, όπως δηλαδή θέλαμε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13344
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Καθετότητα ευθειών
Επιπλέον πληροφορίες για την άσκηση:
Με το συνήθη συμβολισμό των πλευρών τριγώνου είναι και
Για τις ίσες γωνίες είναι
Τέλος η άσκηση λύνεται και με τη συνθήκη καθετότητας αφού
πρώτα αποδειχθεί ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου κλπ. (έχει όμως πολύ γράψιμο).
Με το συνήθη συμβολισμό των πλευρών τριγώνου είναι και
Για τις ίσες γωνίες είναι
Τέλος η άσκηση λύνεται και με τη συνθήκη καθετότητας αφού
πρώτα αποδειχθεί ότι η εφάπτεται στον περίκυκλο του τριγώνου κλπ. (έχει όμως πολύ γράψιμο).
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Καθετότητα ευθειών
Ας δούμε και μια διαφορετική με στοιχειώδη μέσα προσέγγιση της πολύ όμορφης πρότασης του Αχιλλέα
Με (από το ορθόκεντρο του ) προκύπτει ότι οι περίκυκλοι των τριγώνων είναι ίσοι (τα σημεία τους «βλέπουν» την κοινή τους χορδή υπό παραπληρωματικές γωνίες) , συμμετρικοί ως προς την με κέντρο συμμετρίας το μέσο της εν λόγω χορδής και συνεπως
Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο (με ) με διατέμνουσα την προκύπτει ότι και από την και με (γνωστή πρόταση) η σχέση γίνεται
Από την προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια (κάθετες πλευρές ανάλογες) και συνεπώς Αν είναι γνωστό ότι το συμμετρικό του ως προς την και συνεπώς μεσοκάθετη της συνευθειακά και συνεπώς και με (κάθετες στην ) προκύπτει ότι και εφόσον οι είναι ισογώνιες (γνωστή πρόταση) ως προς τις πλευρές της γωνίας και θα είναι και (διαφορά ίσων γωνιών)
Από
Αν είναι η ορθή προβολή του στην ευθεία για τα ορθογώνια τρίγωνα στα αντίστοιχα, είναι και οπότε είναι όμοια και συνεπώς
Από την σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Καθετότητα ευθειών
Γειά χαρά Αχιλλέα! Βάζω μία λύση χωρίς καθόλου πείραγμα του σχήματος. Πάμε μία στα γρήγορα.
Έχουμε
Εξάλλου,
Από τις θα είναι
Όμως θέλουμε για να είναι να είναι και
Συνεπώς, αρκεί
Επειδή , έπεται πως αρκεί
Όμως, είναι
Σουλουπώνοντας λίγο την θα έχουμε
Οπότε από τις δείξαμε ότι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης