Όλες οι αποστάσεις ακέραιες!

#1

Με αφορμή αυτό...

Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο $\displaystyle{n \ge 3}$ υπάρχουν $\displaystyle{n }$ σημεία του επιπέδου, όχι όλα συνευθειακά, ώστε η απόσταση δύο οποιωνδήποτε από αυτά να είναι (θετικός) ακέραιος.

#2

emouroukos έγραψε: Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο $\displaystyle{n \ge 3}$ υπάρχουν $\displaystyle{n }$ σημεία του επιπέδου, όχι όλα συνευθειακά, ώστε η απόσταση δύο οποιωνδήποτε από αυτά να είναι (θετικός) ακέραιος.

Καλό.

Εξετάζουμε

σημεία της μορφής $\displaystyle{(\sin 2\theta , \, \cos 2\theta)}$ όπου τα $\displaystyle{\theta}$ τα επιλέγουμε έτσι ώστε τα $\sin \theta, \cos \theta$ να είναι και οι δύο ρητοί. Για παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε

$\displaystyle{ \sin \theta = \frac {2t}{1+t^2}, \, \cos \theta = \frac {1-t^2}{1+t^2}}$ με

ρητό.

Η χορδή

στον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας

που συνδέει δύο τέτοια σημεία $\displaystyle{ A(\sin 2\theta , \, \cos 2\theta), \, B(\sin 2\phi , \, \cos 2\phi)}$ έχει μήκος (απλό και γνωστό) $\displaystyle{2|\sin (\theta - \phi)|}$

Όπως $\displaystyle{\sin (\theta - \phi) = \sin \theta \cos \phi - \cos \theta \sin \phi}$ το οποίο είναι ρητός από την επιλογή των $\theta, \, \phi$ .

Έτσι βρήκαμε

σημεία που οι αποστάσεις τους είναι, ανά ζεύγη, ρητοί αριθμοί. Πολλαπλασιάζοντας επί κατάλληλο φυσικό (π.χ. το γινόμενο όλων των εμφανιζόμενων παρονομαστών) μπορούμε να εξασφαλίσουμε όλες οι αποστάσεις να είναι ακέραιοι.

#3

Αλλιώς.

Για θετικούς ακεραίους $t_1, t_2, \, ... \, , \, t_n$ ορίζουμε τα γινόμενα

$\displaystyle{ a = 2t_1\cdot t_2 \cdot ... \cdot t_n,$

$\displaystyle{ b_k= (t_k^2-1)\frac {a}{2t_k} \,\kappa \alpha \iota \, \, c_k= (t_k^2+1)\frac {a}{2t_k}, \, k=1,2,...,n}$

Παρατηρούμε ότι όλοι οι παραπάνω αριθμοί είναι ακέραιοι και ότι $\displaystyle{a^2+b_k^2=c_k^2}$ (Πυθαγόρειες τριάδες με κοινό το ένα πόδι). Επίσης μπορούμε να επιλέξουμε τα t_k

έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε ότι τα b_k

είναι διαφορετικά ανά δύο (απλό από το γεγονός ότι η (t^2-1)/t

είναι μη φραγμένη).

Τώρα, το σχήμα παρακάτω αποτελείται από n+1

σημεία σε καρτεσιανούς άξονες, οι αποστάσεις των οποίων είναι όλες ακέραιοι (είτε c_k

ή

). Δηλαδή όπως στο ζητούμενο.

Σχόλιο: Εδώ τα σημεία βέβαια δεν είναι όλα σε ευθεία (αυτό ζητά η άσκηση). Στην προηγούμενη λύση τα σημεία δεν ήσαν σε ευθεία ούτε ανά τριάδες. Νομίζω (αλλά δεν το κοίταξα με λεπτομέρεια) ότι μπορούμε με παραλλαγή του παραπάνω να το πετύχουμε και αυτό.
.

Όλες οι αποστάσεις ακέραιες!

Όλες οι αποστάσεις ακέραιες!

Re: Όλες οι αποστάσεις ακέραιες!

Re: Όλες οι αποστάσεις ακέραιες!

Μέλη σε σύνδεση