Ισοδυναμία στον R^3

S.E.Louridas · #1

Το αντίστοιχο του θεωρήματος του Clairaut της επιπεδομετρίας.

Θεωρούμε το τετράεδρο και επί των εδρών του και προς τα έξω κατασκευάζουμε τρία πρίσματα. Αν είναι η τομή των πάνω βάσεων των πρισμάτων αυτών, κατασκευάζουμε επί της τέταρτης έδρας πρίσμα που η παράπλευρη ακμή του είναι ίση και παράλληλη προς την Να αποδείξετε ότι το πρίσμα αυτό είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των τριών άλλων πρισμάτων.

(*) Απαραίτητη υπενθύμιση: Θεωρούμε ότι δύο στερεά είναι ισοδύναμα όταν έχουν τον ίδιο όγκο.

#2

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Απρ 09, 2024 11:46 pm
Το αντίστοιχο του θεωρήματος του Clairaut της επιπεδομετρίας.

Θεωρούμε το τετράεδρο και επί των εδρών του και προς τα έξω κατασκευάζουμε τρία πρίσματα. Αν είναι η τομή των πάνω βάσεων των πρισμάτων αυτών, κατασκευάζουμε επί της τέταρτης έδρας πρίσμα που η παράπλευρη ακμή του είναι ίση και παράλληλη προς την Να αποδείξετε ότι το πρίσμα αυτό είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των τριών άλλων πρισμάτων.

(*) Απαραίτητη υπενθύμιση: Θεωρούμε ότι δύο στερεά είναι ισοδύναμα όταν έχουν τον ίδιο όγκο.

Σωτήρη καλησπέρα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο αρχικό σχήμα:

: Ισοδυναμία στο R^3 -1.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Στο σχήμα αυτό εμφανίζονται τα τρία πρίσματα που έχουν ως έδρα το καθένα τους αντίστοιχα τις έδρες

$\displaystyle{(SAB), (SBC),(SCA)}$ του τετραέδρου $\displaystyle{(SABC)}$ και είναι ορθά με αντίστοιχα ύψη $\displaystyle{h_1, h_2, h_3}$ .

Επίσης στο σχήμα εμφανίζεται και το μή ορθό πρίσμα με βάση την έδρα $\displaystyle{(ABC)}$ του δοθέντος τετραέδρου

και πλάγια ακμή ίση με την $\displaystyle{(TA)=(SO)}$ , όπου $\displaystyle{O}$ είναι η τομή των τριών επιπέδων των επάνω βάσεων των

παραπλεύρων πρισμάτων.

Ακολουθεί το δεύτερο σχήμα:

: Ισοδυναμία στο R^3-2.png (20.33 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Στο δεύτερο αυτό σχήμα βλέπουμε το πρίσμα το οποίο έχει βάση

την έδρα $\displaystyle{(SBC)}$ και ύψος $\displaystyle{h_2=(SD) }$

Άρα ο όγκος του είναι:

$\displaystyle{V(D.SBC)=(SBC)\cd h_2 \ \ (1)}$

Επίσης στο σχήμα αυτό εμφανίζεται το πρίσμα $\displaystyle{(P_1BCP_oQW) }$ όπου $\displaystyle{P_1}$ είναι η τομή της $\displaystyle{SO}$ με

τη βάση του τετραέδρου και είναι:

$\displaystyle{(P_1P_o)=(SO) }$ .

Μετακινούμε την ακμή $\displaystyle{P_1P_o}$ παράλληλα προς την απέναντι έδρα και προκύπτει

το ισοδύναμο προς αυτό πρίσμα όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Ισοδυναμία στο R^3-3.png (21.28 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Και αν το δούμε διάφανο τότε έχουμε το σχήμα:

: Ισοδυναμία στο R^3-6.png (22.53 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι η έδρα αυτού του ισοδυνάμου πρίσματος είναι

η έδρα $\displaystyle{SBC}$ και ύψος το $\displaystyle{(PT_1)=h_2 }$ καθόσον εύκολα φαίνεται ότι

τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{(OSD), (SPT_1) }$ είναι ίσα.

Ἀρα τα δυο αυτά πρίσματα είναι ίσοδύναμα.

Όμοια δείχνεται ότι και τα άλλα δυο ζεύγη πρισμάτων έιναι ισοδύναμα

και επομένως η πρόταση είναι αληθής.

Κώστας Δόρτσιος

Παραθέτω κι ένα δυναμικό σχήμα στον σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/qmqefdcf

Al.Koutsouridis · #3

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Απρ 09, 2024 11:46 pm
Το αντίστοιχο του θεωρήματος του Clairaut της επιπεδομετρίας.

Θεωρούμε το τετράεδρο και επί των εδρών του και προς τα έξω κατασκευάζουμε τρία πρίσματα. Αν είναι η τομή των πάνω βάσεων των πρισμάτων αυτών, κατασκευάζουμε επί της τέταρτης έδρας πρίσμα που η παράπλευρη ακμή του είναι ίση και παράλληλη προς την Να αποδείξετε ότι το πρίσμα αυτό είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των τριών άλλων πρισμάτων.

(*) Απαραίτητη υπενθύμιση: Θεωρούμε ότι δύο στερεά είναι ισοδύναμα όταν έχουν τον ίδιο όγκο.

Έστω $SBCS_{1}B_{1}C_{1}, SCAS_{2}C_{2}A_{2}, SABS_{3}A_{3}B_{3}$ τα πρίσματα, όχι απαραίτητα ορθά, που κατασκεάσαμε στις έδρες SBC, SCA, SAB

αντίστοιχα και

το σημείο τομής των επιπέδων, που ορίζουν οι έδρες $S_{1}B_{1}C_{1}, S_{2}C_{2}A_{2}, S_{3}A_{3}B_{3}$ .

Έστω επίση ABCA'B'C'

το πρίσμα με ακμές παράλληλες και ίσες με το τμήμα

και βάση την έδρα ABC

.

Επειδή OS||=BB'

το τετράπλευρο OSBB'

είναι παραλληλόγραμμο και θα ισχύει OB'||=SB

. Ομοίως βρίσκουμε, ότι OA'||=SA

και

.

Το επίπεδο $S_{3}A_{3}B_{3}$ είναι παράλληλο στο επίπεδο SAB

και το επίπεδο $S_{1}B_{1}C_{1}$ είναι παράλληλο στο επίπεδο SBC

. Άρα η τομή των επιπέδων $S_{3}A_{3}B_{3}$ και $S_{1}B_{1}C_{1}$ , που είναι ευθεία, έστω η $l_{SB}$ , θα είναι παράλληλη στην τομή των επιπέδων SAB

και

.

Η ευθεία $l_{SB}$ είναι παράλληλη προς την

και διέρχεται από το

. Όμως και η OB'

είναι παράλληλη προς την

και διέρχεται από το σημείο

. Άρα το σημείο

βρίσκεται στην ευθεία $l_{SB}$ .

Ομοίως βρίσκουμε ότι το σημείο

βρίσκεται στην ευθεία $l_{SC}$ , που είναι η τομή των επιπέδων $S_{1}B_{1}C_{1}$ και $S_{2}A_{2}C_{2}$ . Το σημείο

βρίσκεται στην αντίστοιχη ευθεία $l_{SA}$ , τομή των επιπέδων $S_{3}A_{3}B_{3}$ και $S_{2}A_{2}C_{2}$ .

Επομένως τα B', C'

βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο με την έδρα $S_{1}B_{1}C_{1}$ . Άρα το πρίσμα $SBCS_{1}B_{1}C_{1}$ είναι ισοδύναμο με το πρίσμα SBCOB'C'

.

Ομοίως βρίσκουμε, ότι τo πρίσμα $SABS_{3}A_{3}B_{3}$ είναι ισοδύναμο με το πρίσμα SABOA'B'

και το πρίσμα $SACS_{2}A_{2}C_{2}$ ισοδύναμο με το SACOA'C'

.

Από τις παραλληλίες και ισότητες παραπάνω συμπεραίνουμε ότι τα τετράεδρα SABC

και

είναι ίσα, ως παράλληλη μεταφορά του ενός στο άλλο.

Οπότε ο συνολικός όγκος των αρχικών πρισμάτων που κατασκευάσαμε ισούται με τον όγκο του στερεού που περικλείεται από τις τρίεδρες γωνίες SABC

και

και παράπλευρες έδρες, που ορίζονται από τα τμήματα AA', BB', CC'

.

Άρα, εν τέλη, ο όγκος του παραπάνω στερεού ισούται με τον όγκο του πρίσματος ABCA'B'C'

, που είναι το ζητούμενο.

: isodunamia_r3.png (180.17 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

S.E.Louridas · #4

Καλή Ανάσταση Κώστα και Αλέξανδρε για εσένα και τους Ανθρώπους σας.
Πάντα όταν προτείνω τέτοια θέματα έχω την κρυφή ελπίδα να τα δει ο Κώστας Δόρτσιος και να παρέμβει με αυτό τον εκπληκτικό τρόπο και σχεδόν πάντα η ελπίδα μετουσιώνεται από τον Κώστα σε πράξη Διαμάντι. Όμως με μέγιστη ειλικρινή χαρά βλέπω και ένα νεότερο από υμάς τε και ημάς Άριστο Μαθηματικό, και στον στίβο του art of problems solving, να "ζωγραφίζει" με τη δυνατή μαθηματική του σκέψη (και μάλιστα και στην Ελληνική Γεωμετρία μας) και εννοώ τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη. Επιτρέψτε μου να πω ότι αυτό με χαροποιεί αφάνταστα

#5

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 03, 2024 8:07 am
Καλή Ανάσταση Κώστα και Αλέξανδρε για εσένα και τους Ανθρώπους σας.
Πάντα όταν προτείνω τέτοια θέματα έχω την κρυφή ελπίδα να τα δει ο Κώστας Δόρτσιος και να παρέμβει με αυτό τον εκπληκτικό τρόπο και σχεδόν πάντα η ελπίδα μετουσιώνεται από τον Κώστα σε πράξη Διαμάντι. Όμως με μέγιστη ειλικρινή χαρά βλέπω και ένα νεότερο από υμάς τε και ημάς Άριστο Μαθηματικό, και στον στίβο του art of problems solving, να "ζωγραφίζει" με τη δυνατή μαθηματική του σκέψη (και μάλιστα και στην Ελληνική Γεωμετρία μας) και εννοώ τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη. Επιτρέψτε μου να πω ότι αυτό με χαροποιεί αφάνταστα

Σωτήρη σ' ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια!
Ξέρεις, εδώ που βρίσκομαι εδώ και τρία χρόνια, ο χώρος αυτός, όπου
συναντιόμαστε πολλοί, για μένα αποτελεί μια όμορφη πύλη αλλά και στέγη,
όπου καταφέρνω και βρίσκω όσο το μπορώ, την ομορφιά της σκέψης και της δημιουργίας!
Χαίρομαι ακόμα που εκφράζεσαι τόσο αυθόρμητα και αληθινά για τα απλά
πράγματα που δημοσιεύω.
Να είσαι καλά και Χρόνια Πολλά...

Χρόνια Πολλά και στον Αλέξανδρο τον οποίο γνώρισα στο χώρο αυτό και
κατάλαβα ότι πέραν του ότι είναι Άριστος Μαθηματικός είναι και ένας πολύ
εργατικός και ευπροσήγορος συνομιλητής!

Κώστας Δόρτσιος

Ισοδυναμία στον R^3

Ισοδυναμία στον R^3

Re: Ισοδυναμία στον R^3

Re: Ισοδυναμία στον R^3

Re: Ισοδυναμία στον R^3

Re: Ισοδυναμία στον R^3

Μέλη σε σύνδεση