Σε στρογγυλό τραπέζι
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Σε στρογγυλό τραπέζι
Σε ένα σύλλογο μελών, κάθε δύο μέλη που δε γνωρίζονται μεταξύ τους, έχουν ακριβώς ένα κοινό γνωστό, και κανένα μέλος δε γνωρίζει όλα τα υπόλοιπα.
Αποδείξτε ότι υπάρχουν μέλη τα οποία μπορούν να καθίσουν σε ένα στρογγυλό τραπέζι έτσι ώστε καθένα από αυτά να κάθεται ανάμεσα σε δύο μέλη
(α) που γνωρίζει.
(β) που δε γνωρίζει.
Αποδείξτε ότι υπάρχουν μέλη τα οποία μπορούν να καθίσουν σε ένα στρογγυλό τραπέζι έτσι ώστε καθένα από αυτά να κάθεται ανάμεσα σε δύο μέλη
(α) που γνωρίζει.
(β) που δε γνωρίζει.
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Σε στρογγυλό τραπέζι
Γεια σας!socrates έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 18, 2017 3:55 pmΣε ένα σύλλογο μελών, κάθε δύο μέλη που δε γνωρίζονται μεταξύ τους, έχουν ακριβώς ένα κοινό γνωστό, και κανένα μέλος δε γνωρίζει όλα τα υπόλοιπα.
Αποδείξτε ότι υπάρχουν μέλη τα οποία μπορούν να καθίσουν σε ένα στρογγυλό τραπέζι έτσι ώστε καθένα από αυτά να κάθεται ανάμεσα σε δύο μέλη
(α) που γνωρίζει.
(β) που δε γνωρίζει.
Έστω τα μέλη .
Έστω ότι για τον
Αν τότε όλοι οι άγνωστοι του γνωρίζουν τον άτοπο!
Άρα βλέπουμε ότι
Έστω με ένα μέλος,τότε αναγκαστικά από την εκφώνηση υπάρχει με ώστε οι να γνωρίζονται και για κάθε με οι δεν γνωρίζονται.
Οπότε τοποθετούμε τα μέλη ως και επειδή οι δεν γνωρίζονται θα έχουν κοινό γνωστό έστω και προκύπτει η σειρά
Για το β)
Έστω ένας άγνωστος του και ένας γνωστός του ο οποίος δεν γνωρίζει τον και ο κοινός γνωστός των .
Επειδή κάθε άγνωστος του έχει ακριβώς έναν κοινό γνωστό μαζί του έπεται ότι ή για κάθε υπάρχει ώστε να μην γνωρίζονται ή ότι για κάθε υπάρχει ώστε να μην γνωρίζονται.
Στην πρώτη περίπτωση επιλέγουμε δύο άγνωστους του ώστε να μην γνωρίζονται και να μην γνωρίζουν τον έστω και έχουμε την σειρά
Στην δεύτερη περίπτωση επιλέγουμε γνωστό του ,άγνωστο του και ενός ακόμα άγνωστου του και έχουμε την σειρά
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης