Γεωμετρείν 9

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Γεωμετρείν 9

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Σάβ Αύγ 20, 2011 1:47 am

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABC με γωνία κορυφής A=100 μοίρες.
Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας B και κατάλληλη ημιευθεία Cy έτσι ώστε η γωνία BCy να είναι ιση με 10 μοίρες, οι οποίες τέμνονται στο σημείο D.
Βρείτε τη γωνία DAC=x
ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 9.PNG
ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 9.PNG (31.85 KiB) Προβλήθηκε 771 φορές


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Re: Γεωμετρείν 9

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Σάβ Αύγ 20, 2011 2:06 am

Για όλα (ή σχεδόν όλα) τα Γεωμετρείν θα δώσω Γεωμετρικές λύσεις... απλά περιμένω και τις δικές σας απόψεις :logo: .


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3689
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Γεωμετρείν 9

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Αύγ 20, 2011 8:43 am

καλημέρα Δημήτρη
ας ξεκινήσουμε με τριγωνομετρία και βλέπουμε

νόμο ημιτόνων

\displaystyle{\vartriangle ADC\rightarrow \frac{AC}{\sin(x+30)}=\frac{AD}{\sin 30},~~(1)}

\displaystyle{\vartriangle ADB\rightarrow \frac{AB}{\sin(x+60)}=\frac{AD}{\sin 20},~~(2)}

\displaystyle{(1),(2)\rightarrow \frac{\sin(x+60)}{\sin(x+30)}=\frac{\sin 20}{\sin 30}=\frac{\sin 40}{\cos 20}=\frac{\sin 140}{\sin 70}=\frac{\sin 140}{\sin 110}\Rightarrow}\displaystyle{\frac{\sin(x+60)}{\sin(x+30)}=\frac{\sin(80+60)}{\sin(80+30)}\Rightarrow x=80^o}

μοναδική λόγω μονοτονίας της \displaystyle{f(x)=\frac{\sin(x+60)}{\sin(x+30)}}


Φωτεινή Καλδή
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3694
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Μιχάλης Νάννος

Re: Γεωμετρείν 9

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Αύγ 20, 2011 9:38 am

Γεωμετρείν-9.png
Γεωμετρείν-9.png (46.04 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές
Καλημέρα.

Στην προέκταση της BA παίρνω τμήμα BE = BC, οπότε B\widehat EC = B\widehat CE = {70^ \circ }, συνεπώς A\widehat CD = A\widehat CE = {30^ \circ }.

Έστω F \equiv BD \cap EC. Η BF θα είναι διχοτόμος – ύψος - διάμεσος του ισοσκελούς BEC. Από το ορθογώνιο DCF\,\left( {{{30}^ \circ }{{,60}^ \circ }{{,90}^ \circ }} \right) θα ισχύει DC = 2FC = CE.

Από ισότητα των τριγώνων CDA,\,CEA \left( {\Pi - \Gamma - \Pi } \right) προκύπτει D\widehat AC = E\widehat AC = {80^ \circ }.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Re: Γεωμετρείν 9

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Σάβ Αύγ 20, 2011 6:13 pm

Φωτεινή και Μιχάλη σας ευχαριστώ πολύ για τις ευέλικτες λύσεις... το παλιό δυνατό "team" της Γεωμετρίας σε δράση.
Αργότερα θα ανεβάσω και εγώ μία λύση ...


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Re: Γεωμετρείν 9

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Σάβ Αύγ 20, 2011 9:45 pm

Προεκτείνουμε την BA.
Δημιουργούμε τη γωνία ACG=40 μοίρες οπότε το I είναι το έκκεντρο του τριγώνου BGC.
Η γωνία BEC είναι 80 μοίρες, η γωνία CIE 60 μοίρες και η γωνία BGC 60 μοίρες με την GI διχοτόμο αυτής.
Το τετράπλευρο GAIE είναι εγγράψιμο.
Η γωνία IEA είναι 30 μοιρών και το τετράπλευρο ADCE εγγράψιμο. Επομένως είναι x=80 μοίρες.
ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 9.PNG
ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 9.PNG (59.96 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Δημήτρης Μυρογιάννης

Re: Γεωμετρείν 9

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Σάβ Αύγ 27, 2011 8:29 pm

Μία ακόμα λύση:
Προεκτείνουμε τη BD να τμήσει την AC στο σημείο E και σχηματίζεται το ισοσκελές EDC με ED=EC.
Επί της BC λαμβάνουμε σημείο G τέτοιο ώστε η γωνία CDG να έχει μέτρο 10 μοίρες ή αλλιώς το τρίγωνο CGD να είναι ισοσκελές, οπότε η γωνία DGB είναι 20 μοιρών..
Ενώνουμε τα σημεία E,G και συγκρίνουμε τα τρίγωνα EDG,EGC τα οποία είναι προφανώς ίσα.
Αυτό μας δίνει το δικαίωμα να σημειώσουμε όλες τις γωνίες αυτών των τριγώνων .
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ABE,GBE τα οποία είναι επίσης ίσα, οπότε AE=EG.
Η σύγκριση των τριγώνων ADE,DEG δίνει x=80 μοίρες.
ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 9 ΔΕΥΤΕΡΗ ΛΥΣΗ.PNG
ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 9 ΔΕΥΤΕΡΗ ΛΥΣΗ.PNG (51.42 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x} \imath T y
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης