Χρονια πολλα και καλα στους εορταζοντες και ιδιαιτερα στον Ανασταση.

Δημητρης

Καλημερα Φωτεινη. Εναλλασσοντας τα $x,y$ και προσθετοντας κατα μελη εχουμε $xf(y) + yf(x) \leq x f(x) + y f(y)$. Αρα η $f$ ειναι αυξουσα και καθε σημειο εχει πλευρικα ορια. Αναδιατασσοντας την αρχικη εξισωση εχουμε $x [ f(y) - f(x)] \leq f(y) (y - x)$. Παιρνοντας ορια για $y \to x^+$ και για $x \to ...

Απο μικρο Fermat εχουμε οτι μια ικανη συνθηκη για να διαιρειται ο $n^a - n^b$ απο εναν πρωτο $p$ ειναι να διαιρειται ο $a - b$ απο τον $p - 1$. Ετσι, ο αριθμος μας διαιρειται σιγουρα με το $2$. Επισης, ελεγχοντας $\mod 4$ βλεπουμε οτι ο $m = n^{n^{n^{n^{n}}}} - n^{n^{n^{n}}}$ διαιρειται με το $4$ κι...

Ωραια λυση Δημητρη! Η δικη μου ειναι ως εξης : Θεωρουμε ως πιθανες τιμες των ακεραιων $A,B,C$ απο $-5 \cdot 10^5$ ως $5 \cdot 10^5$, εξαιρουμενου του μηδενος. Καθε τριαδα παραγει ενα μοναδικο αριθμο $A + B\sqrt{2} + C\sqrt{3}$ και οι παραγομενοι αριθμοι βρισκονται σε ενα διαστημα μηκους $10^6 \cdot ...

Θα κατασκευασουμε τη μη αρνητικη, συνεχη παραγωγο της συναρτησης (με συνολο ριζων το $F$) και στη συνεχεια, ολοκληρωνοντας την, εχουμε τη συναρτηση μας. Στο $\mathbb{R} - F$ μπορει να οριστει η σχεση ισοδυναμιας $xCy \Longleftrightarrow [x,y] \cap F = \emptyset$. Οι κλασεις ισοδυναμιας, λογω της κλε...

Καλημερα σε ολους.

Να αποδειχθει οτι υπαρχουν , οχι ολοι μηδεν, τετοιοι ωστε

Φυσικα η λυση δεν ειναι αποδεκτη - ευχαριστω τον Αλεξανδρο και το Σεραφειμ για την επισημανση.

Δημητρης Σκουτερης

Ωχ ωχ... Σοβαρό πρόβλημα στη λύση της άσκησης! Το $e^{f(x)}$ είναι εξαρτημένο από τη μεταβλητή $x$ η οποία εμφανίζεται και σαν συντελεστής στη δευτεροβάθμια. Δε βλεπω το προβλημα Αλεξανδρε. Λυνουμε τη δευτεροβαθμια για σταθερο $x$, οποτε δε μας ενδιαφερει η τυχον εξαρτηση των συντελεστων. Ή ακόμη χ...

Εχουμε οτι $a_k > 1$ για καθε $k \geq 3$. Επισης, για καθε $k \geq 2$ εχουμε (modulo $a_k$) : $a_k \equiv 0, \ a_{k+1} \equiv 1$ και απο τον αναδρομικο τυπο βλεπουμε οτι $a_{k+6} \equiv 22 \mod a_k$. Αρα ο $a_{k+6} - 22$ διαιρειται με τον $a_k$ και, αφου ολοι οι αριθμοι $a_k$ με $k \geq 3$ ειναι μεγ...

Ενας γνωστος τυπος που μας επιτρεπει να ποσοτικοποιουμε τη διαφορα μεταξυ αθροισματων και των αντιστοιχων ολοκληρωματων. Εστω $f$ συναρτηση με συνεχη παραγωγο στο $[0, + \infty)$. Αποδειξτε τη σχεση $\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k) - \int_0^n f(t) dt = \int_0^n \left( t - \lfloor t \rfloor \right) f...

Το υπολοιπο της διαιρεσης ειναι εκεινο το πολυωνυμο $r(x)$, το πολυ 15ου βαθμου, το οποιο, στις ριζες του $q(x)$ (δηλ. στις 17-ες ριζες της μοναδας εκτος του $1$) εχει την ιδια τιμη με το $p(x)$. Η τιμη του $p(x)$ στο $\displaystyle e^{\frac{2k \pi i}{17}} \ (k \neq 0 \mod 17)$ ειναι $\displaystyle ...

Επαναφερω το θεμα.

Δημητρης

- Πως πλενει τα πιατα ενας μαθηματικος;

- Πλενει ενα και μετα λεει 'Ομοιως και για τα υπολοιπα'.

Δημητρης

Χρησιμοποιω το λημμα οτι : Αν η παρασταση $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left(\sqrt{a^2 + p_k}\right) - \sum_{k=1}^m \left(\sqrt{a^2 + r_k}\right)$ με $p_k, r_k$ μη μηδενικους αλγεβρικους ακεραιους ειναι ρητη για $a \in \mathbb{Z}$ οσοδηποτε μεγαλο, τοτε το συνολο των $p_k$ ταυτιζεται με το συνολο των...

Ασε με να ονειρευτω λιγο ρε μεγαλε...

Γραφουμε $\displaystyle f(x) - \int_1^{f(x)} \frac{\sin t}{2t} dt = x - \int_1^x \frac{\sin t}{2t} dt$. Ονομαζουμε $g$ τη συναρτηση του δευτερου μελους και εχουμε $\displaystyle g^{\prime} (x) = 1 - \frac{ \sin x}{2x} > 0$. Κατα συνεπεια η $g$ ειναι $1-1$ (ως γν. αυξουσα) και αφου $g[f(x)] = g(x)$ γ...

Καθε αριθμος της μορφης $\sqrt{n^2 + 1}$ ειναι αλγεβρικος ακεραιος (ριζα του πολυωνυμου $x^2 - n^2 - 1$). Επειδη οι αλγεβρικοι ακεραιοι ειναι δακτυλιος, και το αθροισμα της ασκησης θα ειναι αλγεβρικος ακεραιος και κατα συνεπεια ριζα μονικου πολυωνυμου. Επισης εχουμε $\sqrt{1001^2 + 1} - 1001 + \sqrt...

Για να δουμε... Εχουμε $f(x) \geq \displaystyle \int_0^x f(e^t) dt \geq \int_{x/2}^x f(e^t) dt \geq f(e^{x/2}) \frac{x}{2} \geq f(e^{x/2})$ για $x \geq 2$. Αφου ομως, για αρκετα μεγαλα $x$, εχουμε $e^{x/2} > x$ σημαινει οτι σε καποιο διαστημα $(x_0, + \infty)$ η $f$ ειναι σταθερη. Αφου, επισης, $\di...

Καλημερα και στους δυο σας. Εχουμε λοιπον : $\displaystyle |f(x)| \leq |f(0)| + \int_0^x |f(t) + f^{\prime} (t)| dt \Longleftrightarrow$ $\displaystyle e^x |f(x)| \leq e^x |f(0)| + e^x \int_0^x |f(t) + f^{\prime} (t)| dt \Longleftarrow$ $\displaystyle \Longleftarrow e^x |f(x)| \leq |f(0)| + \int_0^x...

Ενα προβλημα απο το παλαι ποτε QUANTUM...

Εστω ακολουθια τετοια ωστε, για καθε , να ισχυει . Να αποδειχθει οτι, για καθε , ο ειναι συνθετος.

Δημητρης Σκουτερης

Εστω $u = \tan^{-1} x$. Γραφουμε $\displaystyle \frac{1 - x}{1+x} = \frac{\tan \pi/4 - \tan u}{1 + \tan \pi/4 \ \tan u} = \tan (\pi / 4 - u)$. Ετσι η εξισωση γινεται $\pi/4 - u = u/2 + n \pi$ για καποιο $n \in \mathbb{Z}$ οποτε $u = \pi / 6 + 2n \pi/3$. Αφου ομως το $u$ ειναι αντιστροφη εφαπτομενη, ...