Έστω η πολυγάμμα συνάρτησης τάξης . Να δειχθεί ότι .

Έστω η συνάρτηση βήτα του Dirichlet. Να δειχθεί ότι:

Για $n=2$: Είναι: $\displaystyle{\begin{aligned} \int_0^1 \log^2(1-x) \log^2(1+x) \, \mathrm{d}x&= 24-8 \zeta(2)-8 \zeta(3)-\zeta(4)+8 \zeta(2) \log 2 -4\zeta(2) \log^2 2 \\ &\quad \quad +8 \zeta(3) \log 2-24 \log2+12 \log^2 2-4 \log^3 2+\log^4 2 \end{aligned}}$ το οποίο βγαίνει απ' τη ταυτότητα $1...

Η απάντηση υπάρχει στον ίδιο σύνδεσμο στο βιβλιο του Cornel σελίδα 77. Χρειάζεται να ξέρεις πολύ καλά ειδικές συναρτήσεις και μερικές παραγωγούς αυτών.

Ψάχνοντας στη βιβλιογραφία βρήκα το ακόλουθο: Είναι γνωστό (!! :shock: :shock: :shock: ) ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1} x^{\nu -1} (1+x)^{\lambda} (1-x)^{\mu -1} \, dx = \mathrm{B}(\mu, \nu) \, {}_{2}\mathrm{F}_{1}(- \lambda, \nu; \mu+\nu; -1) }$ όπου ${}_{2}\mathrm{F}_{1}$ είναι η υπεργεωμετρική ...

Ενδιαφέρον πάντως έχει και το ανάπτυγμα Taylor της $\ln(1-x) \ln (1+x)$. Έχουμε διαδοχικά: $\displaystyle{\begin{aligned} \log{(1+x)\log(1-x)}&=\left(\sum_{j=1}^\infty (-1)^{j+1}\frac{x^j}{j}\right)\left(-\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}\right)\\ &=\sum_{n=2}^\infty\left(\sum_{{j+k=n}\atop{j,k\geq 1}...

Έστω . Να δειχθεί ότι:

Δε καταλαβαίνω την ερώτησή σου... Αν είναι να μελετηθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{0}^{1} \ln^n (1+x) \ln^n (1-x) \, \mathrm{d}x }$ όπου $n \in \mathbb{N}$, τότε απαιτούνται ισχυρά εργαλεία. Για μικρές τιμές του $n$ είναι σχετικά εύκολο. Ξεκινάμε με πολύ βασικό άθροισμα: Λήμμα: Ισχύει $\dis...

Πώς ακριβώς ερμηνεύεται το παρακάτω γεωμετρικά;

Αν , τότε .

Επαναφορά.

Ελπίζω να μη χάνω. Είναι $\displaystyle{f(x)g(x) = x^2 - \frac{x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2}}$. Όμως, $\displaystyle{x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2}$ για κάθε $x \neq 0$ και $\displaystyle{-\frac{1}{2} \leq \frac{x}{x^2+1} \leq \frac{1}{2}}$ για κάθε $x \neq 0$. Τότε, $\displaystyle{f(x) g(x) = \left ( x^2...

Δίδονται τα σημεία $\mathrm{A}(-1, 2)$, $\mathrm{B}(1, -2)$ και $\Gamma(2, 3)$. Να βρεθεί σημείο $\mathrm{M}$ επί του άξονα $y'y$, ώστε η παράσταση $\displaystyle{\mathrm{d} = \left | \overrightarrow{\mathrm{MA}} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{M} \Gamma...

... νομίζω ότι έχει έρθει η ώρα να μάθω και να σχεδιάζω σε κατάλληλο πρόγραμμα. Το LaTeX είναι η ιδανική επιλογή για συγγραφή (επιστημονικού) κειμένου σε συνδυασμό με το tikz /tkz-euclide/pstricks. Δίδει εκπληκτικά αποτελέσματα . με ποιον τρόπο εισάγουμε σε κείμενο στο Word μια γραφική παράσταση ή ...

Χαλό Θανάση, (αυτή η άσκηση μου θύμισε μία άσκηση ίδιου τύπου που έχω βάλει στο βιβλίο της Γ) $\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw[->] (-0.5, 0) -- (2.5, 0) node[below]{x}; \draw[->] (0, -0.5) -- (0, 7.5) node[left]{y}; \draw (0, 0) node[below left]{O}; \draw (1, 0) node[below]{1}; \d...

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec{\alpha}$, $\vec{\beta}$ για τα οποία ισχύει $\left | \vec{\alpha} \right | = x$, $\left | \vec{\beta} \right | = 3x-4$ και $\left | \vec{\alpha} + \vec{\beta} \right |=x^2$ όπου $x \in \mathbb{R}$. Να βρεθεί η τιμή του $x \in \mathbb{R}$. Να δειχθεί ότι $\vec{\al...

Ουσιαστικά πρόκειται για γραφή απ' την αρχή. Έχουν ενσωματωθεί αρκετές αλλαγές, έχουν διορθωθεί τα παροράματα, έχουν φύγει ασκήσεις, έχουν προστεθεί ασκήσεις, έχει γίνει retina touch στα σχήματα, καθώς επίσης και άλλες ήσσονος σημασίας αλλαγές. Τέλος, έχουν αφαιρεθεί οι λύσεις και πλέον θα γίνουν ξε...

Στο παρακάτω σχήμα οι κύκλοι εφάπτονται, το $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ είναι τετράγωνο και $\Gamma \Delta = 20$ εκατοστά. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου χωρίου. $\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=1.2, rotate=-40] \draw (0, 0) circle(1cm); \draw (0, 2) circle(1cm); \draw[line wid...

Είμαι στην ευχάριστη θέση να ανακοινώσω ότι κυκλοφορεί με αυτοέκδοση το βιβλίο "Μαθηματικά Γ' Λυκείου". Είναι αναθεωρημένη έκδοση στην οποία μέσα σε μόλις 554 σελίδες αναπτύσσεται η ύλη των μαθηματικών της Γ' Λυκείου. Περιέχονται εκτός των άλλων 18 κριτήρια αξιολόγησης και 34 επαναληπτικά θέματα. Μπ...

Δίδεται ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ με $\mathrm{AB} \parallel \Gamma \Delta$. Από το $\Delta$ η παράλληλη προς τη $\Gamma \mathrm{B}$ τέμνει την $\mathrm{AB}$ στο $\mathrm{E}$. Να προσδιοριστεί σημείο $\mathrm{M}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overrightarrow{\mathrm{MA}} + \overrig...

Δίδεται ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ με $\mathrm{AB} \parallel \Gamma \Delta$. Από το $\Delta$ η παράλληλη προς τη $\Gamma \mathrm{B}$ τέμνει την $\mathrm{AB}$ στο $\mathrm{E}$. Να προσδιοριστεί σημείο $\mathrm{M}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overrightarrow{\mathrm{MA}} + \overrigh...