Εύρεση μέγιστης τιμής

#1

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $\displaystyle { z+x}$ αν $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ για τους οποίους ισχύουν :

$\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ z^2+t^2=9 \\ xt+yz \geq 6 \end{cases}$

έως 31 Οκτωβρίου 2009 - Μαθηματικοί Διαγωνισμοί και Ολυμπιάδες, Θέματα για Γυμνάσιο - Juniors

#2

Επαναφέρω το θέμα.

kwstas12345 · #3

συμφωνα με την ανισότητα cauchy παίρνουμε:
(x^2+y^2)(z^2+t^2)=(x^2+y^2)(t^2+z^2) => (xt+yz)^2 => 36, αφού xt +yz >= 6.
ομώς επειδή (x^2+y^2)(z^2+t^2)=4.9=36 θα ισχύει η ισότητα, άρα χ=λt και y=λz οπότε η σχέση:
x^2+y^2=4 <=> λ^2(z^2+t^2) = 4 <=> λ^2= 4/(z^2+t^2) = 4/9 => λ = +- 2/3
όμως xt+yz=λt^2+λy^2=λ(z^2+t^2) >=6 => λ>= 2/3 άρα η τιμή -2/3 απορρίπτεται (1)
για λ=2/3 τότε: x+z=(2/3)t+z. όμως t = ριζα(9-z^2) με -3 =< z =< 3. άρα
x+z=(2/3)t+z = (2/3)ριζα(9-z^2) +z =Ψ
επειδή (2/3)ριζα(9-z^2) +z > z => Ψ-z> 0 οπότε πετάω το z στο άλλο μέλοσ υψώνο στο τετράγωνο και ωγαίνει δευτεροβάθμια ως πρός z.Πρέπει Δ >=0 ....
... Ψ =< ρίζα 13 => max Ψ=ρίζα 13 και απο εκεί και πέρα λύνεις την ρίζα 13=(2/3)ριζα(9-z^2) +z γιανα βρείς τισ τιμές οπου λαμβάνει χώρα η ισότητα. βρισκεις το t από την δοσμένη και επειτα το χ και τελείωσες αρκεί z<ρίζα13

KARKAR · #4

Μια λυκειακή αντιμετώπιση :

για τα διανύσματα (x ,y) , (t , z)

έχω : $(xt+yz)\leq \sqrt{x^2+y^2}\sqrt{z^2+t^2} =6$ , συνεπώς xt+yz = 6 (*)

Η ισότητα ισχύει αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα , δηλαδή αν υπάρχει : $\lambda >0$ ώστε : $x =\lambda t,y=\lambda z$

και αντικαθιστώντας στην (*)

,έχω : $\lambda (t^2+ z^2)=6\Rightarrow \lambda =\frac{2}{3}$

Είναι $z= \sqrt{9-t^2},t=\frac{3}{2}x$ οπότε $z+x =\sqrt{9-\frac{9}{4}x^2 }+x$

Θεωρώντας τώρα τη συνάρτηση $f(x) =x+\sqrt{9-\frac{9}{4}x^2 } , x\in [-2, 2]$ , εύκολα βρίσκουμε

ότι στη θέση $x=\displaystyle\frac{4\sqrt{13}}{13}$ παίρνει μέγιστη τιμή την $f_{max}=\sqrt{13}$

Εύρεση μέγιστης τιμής

Εύρεση μέγιστης τιμής

Re: Εύρεση μέγιστης τιμής

Re: Εύρεση μέγιστης τιμής

Re: Εύρεση μέγιστης τιμής

Μέλη σε σύνδεση