IMC 2013/1/1

Eukleidis · #1

Έστω $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ πραγματικοί και συμμετρικοί πίνακες με όλες τις ιδιοτιμές τους αυστηρά μεγαλύτερες από $\displaystyle{1}$ . Έστω $\displaystyle{\lambda }$ μια πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| \lambda \right| > 1}$ .

#2

Έστω $v_1,\ldots,v_n$ ορθοκανονική βάση ιδιοδιανυσμάτων του

με ιδιοτιμές $\lambda_1,\ldots,\lambda n$ . Αν $v = \sum \alpha_i v_i$ τότε $Av = \sum \alpha_i \lambda v_i$ και άρα $\|Av\|^2 = \sum \alpha_i^2 \lambda_i^2 > \sum \alpha_i^2 = \|v\|^2$ .

Αποδείξαμε λοιπόν ότι για κάθε

ισχύει ότι $\|Av\| > \|v\|$ . Αυτό βέβαια ισχύει και για τον πίνακα

και άρα $\|ABv\| > \|Bv\| > \|v\|$ .

Έστω τώρα $w \neq 0$ με $ABw = \lambda w$ όπου $\lambda \in \mathbb{R}$ . Τότε $v = w + \overline{w}$ είναι ιδιοδιάνυσμα με όλες του τις τιμές πραγματικές. Επομένως $\|\lambda v\| = \|ABv\| > \|v\|$ και άρα $|\lambda| > 1$ .

IMC 2013/1/1

IMC 2013/1/1

Re: IMC 2013/1/1

Μέλη σε σύνδεση