Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

thanasis kopadis · #1

Η πρώτη μου προσπάθεια γραφής με Latex. Παρακαλώ να είστε επιεικείς μαζί μου..

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ με $\left|z_{1} \right|=\left|z_{2} \right|=\left|z_{3} \right|=1.$
α) Αν $z_{1}^2+z_{2}^2+z_{3}^2 = 0$ και $z_{1}^3+z_{2}^3+z_{3}^3=0$ , να αποδείξετε ότι $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|=\sqrt{3}$
β) Aν $z_{1}+z_{2}+z_{3}=z_{1}z_{2}z_{3}=1$ , να αποδείξετε ότι $z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}=1$
γ) Αν $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ οι ρίζες της εξίσωσης $z^{3}-z^{2}+z-1=0$ , να αποδείξετε ότι $z_{1}^{2012}+z_{2}^{2012}+z_{3}^{2012}=3$
δ) Να αποδείξετε ότι ο $w_{1}=\frac{(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})(z_{3}+z_{1})}{z_{1}z_{2}z_{3}}$ είναι πραγματικός αριθμός
ε) Αν $z_{1}+z_{2}+z_{3}=2i$ , να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού $w_{2}=\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}$
στ) Να αποδείξετε ότι $\left|\frac{2}{z_{1}}+\frac{3}{z_{2}}+\frac{4}{z_{3}} \right|\leq 9$
ζ) Αν ισχύει $z_{1}+2z_{2}=3z_{3}$ να αποδείξετε ότι $Re(z_{1}\bar{z_{2}})=Re(z_{2}\bar{z_{3}})=Re(z_{1}\bar{z_{3}})$
η) Να αποδείξετε ότι
$\left|z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3} \right|=\left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|$
θ) Αν οι $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ είναι ανά δύο διαφορετικοί μεταξύ τους και $z_{1}+ z_{2}+ z_{3}=0$ , να αποδείξετε ότι:
i) $z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}=0$
ii) $z_{1}^3=z_{2}^3=z_{3}^3$
iii) oι εικόνες των $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου
iv) οι εικόνες των $z_{1}z_{2},z_{2}z_{3},z_{1}z_{3}$ είναι επίσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

Φιλικά

thanasis kopadis · #2

α) $\left|z_{1} \right|=1\Leftrightarrow \left|z_{1} \right|^2=1\Leftrightarrow z_{1}\bar{z_{1}}=1\Leftrightarrow \bar{z_{1}}=\frac{1}{z_{1}}$

Ομοίως $\bar{z_{2}}=\frac{1}{z_{2}}$ και $\bar{z_{3}}=\frac{1}{z_{3}}$
$\left|z_{1}+z_{2}+z_{3}\right|^2= (z_{1}+z_{2}+z_{3})(\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}+\bar{z}_{3})= (z_{1}+z_{2}+z_{3})(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}})= 3+\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{1}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}+\frac{z_{3}}{z_{2}}+\frac{z_{1}}{z_{3}}+\frac{z_{3}}{z_{1}}= 3+\frac{z_{1}^2+z_{2}^2}{z_{1}z_{2}}+\frac{z_{2}^2+z_{3}^2}{z_{2}z_{3}}+\frac{z_{1}^2+z_{3}^2}{z_{1}z_{3}}= 3-\frac{z_{3}^2}{z_{1}z_{2}}-\frac{z_{1}^2}{z_{2}z_{3}}-\frac{z_{2}^2}{z_{1}z_{3}}= 3-\frac{z_{1}^3+z_{2}^3+z_{3}^3}{z_{1}z_{2}z_{3}}=3$

Άρα $\left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|=\sqrt{3}$

β) $z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}= \frac{z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}}{z_{1}z_{2}z_{3}}= \frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}= \bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}+\bar{z_{3}}=1$

γ) $z^3-z^2+z-1=0\Leftrightarrow (z-1)(z^2+1)=0\Leftrightarrow z=1$ ή $z=\pm i$
Επομένως $z_{1}^{2012}+z_{2}^{2012}+z_{3}^{2012} = 1+1+1=3$

δ)
$\bar{w_{1}}= \frac{(\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}})(\bar{z_{2}}+\bar{z_{3}})(\bar{z_{3}}+\bar{z_{1}})}{\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}\bar{z_{3}}}= \frac{(\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}})(\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}})(\frac{1}{z_{3}}+\frac{1}{z_{1}})}{\frac{1}{z_{1}}\frac{1}{z_{2}}\frac{1}{z_{3}}}= \frac{(z_{1}+z_{2})(z_{2}+z_{3})(z_{1}+z_{3})}{z_{1}z_{2}z_{3}}=w_{1}$
Άρα ο w είναι πραγματικός αριθμός

ε) $\left|w_{2} \right|=\left|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}} \right|=\left|\bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}+\bar{z_{3}} \right|=\left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|=\left|2i \right|=2$

στ) $\left|\frac{2}{z_{1}}+\frac{3}{z_{2}}+\frac{4}{z_{3}} \right|\leq \left|\frac{2}{z_{1}} \right|+\left|\frac{3}{z_{2}} \right|+\left|\frac{4}{z_{3}} \right|=2+3+4=9$

ζ)
$z_{1}+2z_{2}=3z_{3}\Rightarrow \left|z_{1}+2z_{2} \right|=\left|3z_{3} \right|\Leftrightarrow\left |z_{1}+2z_{2} \right|^2=\left|3z_{3} \right|^2 \Leftrightarrow (z_{1}+2z_{2})(\bar{z_{1}}+2\bar{z_{2}})=9\Leftrightarrow 1+2z_{1}\bar{z_{2}}+2\bar{z_{1}}z_{2}+4=9\Leftrightarrow2z_{1}\bar{z_{2}}+2\bar{z_{1}}z_{2}=4\Leftrightarrow z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2}=2\Leftrightarrow2Re(z_{1}\bar{z_{2}})=2\Leftrightarrow Re(z_{1}\bar{z_{2}})=1$
Ομοίως $Re(z_{2}\bar{z_{3}})=1$ και $Re(z_{1}\bar{z_{3}})=1$

η)
$\left|z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1} \right|= \left|\bar{z_{1}}\bar{z_{2}}+\bar{z_{2}}\bar{z_{3}}+\bar{z_{3}}\bar{z_{1}} \right|= \left|\frac{1}{z_{1}z_{2}}+\frac{1}{z_{2}z_{3}}+\frac{1}{z_{1}z_{3}} \right|= \left|\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{z_{1}z_{2}z_{3}} \right|=\frac{\left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|}{\left|z_{1}z_{2}z_{3} \right|}= \left|z_{1}+z_{2}+z_{3} \right|$

θ) i)
$z_{1}+z_{2}+z_{3}=0 \Leftrightarrow \bar{z_{1}}+\bar{z_{2}}+\bar{z_{3}}=0 \Leftrightarrow \frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}=0 \Leftrightarrow \frac{z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}+z_{1}z_{2}}{z_{1}z_{2}z_{3}}=0\Leftrightarrow z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}+z_{1}z_{2}=0$

ii)
$z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{3}z_{1}=0 \Leftrightarrow z_{1}z_{2}+z_{2}(-z_{1}-z_{2})+(-z_{1}-z_{2})z_{1}=0 \Leftrightarrow z_{1}z_{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}^2-z_{1}z_{2}-z_{1}^2=0 \Leftrightarrow z_{1}^2+z_{2}^2+z_{1}z_{2}=0 \Leftrightarrow (z_{1}-z_{2})(z_{1}^2+z_{2}^2+z_{1}z_{2})=0 \Leftrightarrow z_{1}^3-z_{2}^3=0 \Leftrightarrow z_{1}^3=z_{2}^3$
Ομοίως $z_{2}^3=z_{3}^3$ , άρα $z_{1}^3=z_{2}^3= z_{3}^3$

iii) Αρκεί να δείξουμε ότι
$\left|z_{1}-z_{2} \right|=\left|z_{2}-z_{3} \right|=\left|z_{1}-z_{3} \right|$

Είναι
$\left|z_{1}-z_{2} \right|=\left|z_{2}-z_{3} \right|\Leftrightarrow \left|z_{1}+z_{1}+z_{3} \right|=\left|-z_{1}-z_{3}-z_{3} \right|\Leftrightarrow \left|2z_{1}+z_{3} \right|=\left|z_{1}+2z_{3} \right|\Rightarrow \left|2z_{1}+z_{3} \right|^2=\left|z_{1}+2z_{3} \right|^2\Leftrightarrow (2z_{1}+z_{3})(2\bar{z_{1}}+\bar{z_{3}})=(z_{1}+2z_{3})(\bar{z_{1}}+2\bar{z_{3}})\Leftrightarrow 4+2z_{1}\bar{z_{3}}+2z_{3}\bar{z_{1}}+1=1+2z_{1}\bar{z_{3}}+2z_{3}\bar{z_{1}}+4$
ισχύει.

Ομοίως $\left|z_{1}-z_{2} \right|=\left|z_{1}-z_{3} \right|$

iv) Αρκεί
$\left|z_{1}z_{2}-z_{1}z_{3} \right|=\left|z_{1}z_{2}-z_{2}z_{3} \right|=\left|z_{1}z_{3}-z_{2}z_{3} \right|\Leftrightarrow \left |z_{1} \right|\left|z_{2}-z_{3} \right|=\left|z_{2} \right|\left|z_{1}-z_{3} \right|=\left|z_{3} \right|\left|z_{1}-z_{2} \right|\Leftrightarrow\left |z_{2}-z_{3} \right|=\left|z_{1}-z_{3} \right|=\left|z_{1}-z_{2} \right|$
ισχύει.

thanasis kopadis · #3

Έγινε μικρή αλλαγή στην υπόθεση του ερωτήματος ε), καθώς δε συμφωνούσε με τα αρχικά δεδομένα. Ευχαριστώ τον κο "nsmavrogiannis" για την υπόδειξή του.
Επίσης ευχαριστώ τον "parmenides51" για τα καλά του λόγια και τις συμβουλές του στη γραφή Latex.

thanasis kopadis · #4

Για το α) ερώτημα δείτε εδώ: viewtopic.php?f=51&t=37217&p=171931#p171931

Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Re: Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Re: Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Re: Επαναληπτικό Θέμα μιγαδικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση