max-min μέτρου μιγαδικού

hsiodos · #1

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Γιώργο καλησπέρα .
Μετά από αρκετές πράξεις και αλγεβρικά κόλπα ... ( αν είναι εντάξει όλα )

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

[Σε οτι γραφω παρακατω α^.5 = τετραγωνικη ριζα του α, και α^1.5 = α στην 3/2]

Συμφωνω με τον Χρηστο οσον αφορα το μεγιστο (7^.5 ~ 2.645751), και για το ελαχιστο προτεινω 2^.5 - 1 ~ .414213 (εμφανιζομενο στον *πραγματικο* αριθμο 1 - 2^.5).

Εργασθηκα ως εξης. Θετοντας z = x + iy, παρατηρω οτι η |z^2 + 1| = 2|z+1| οδηγει στην διτετραγωνη ως προς y εξισωση y^4 + (2x^2 - 6)y^2 + (x^4 - 2x^2 - 8x -3) = 0, λυση της οποιας προκυπτει y^2 = 3 - x^2 +- 2(-x^2 + 2x + 3)^.5 και |z|^2 = x^2 + y^2 = 3 +- 2(-x^2 + 2x + 3)^.5 .

Μια πρωτη παρατηρηση ειναι οτι ισχυει η ανισοτητα -1 <= x <= 3 , λογω της -x^2 + 2x + 3 >= 0 .

Οφειλει επισης να ισχυει η y^2 >= 0 : εδω εχουμε δυο περιπτωσεις, αναλογα με την λυση της διτετραγωνης (και το προσημο) που εχουμε επιλεξει.

Στην περιπτωση y^2 = 3 - x^2 + 2(-x^2 + 2x + 3)^.5 η y^2 >= 0 ισχυει αυτοματως για x^2 <= 3, ενω για x^2 > 3 οδηγει στην 0 < x^2 - 3 <= 2(-x^2 + 2x + 3)^.5 και, υψωνοντας στο τετραγωνο και παραγοντοποιωντας, x^4 - 2x^2 - 8x - 3 <= 0 και (x^2 - 2x - 1)(x^2 + 2x + 3) <= 0 : απο τον πρωτο παραγοντα παιρνουμε 1 - 2^.5 <= x <= 1 + 2^.5 , και σε συνδυασμο με την x^2 > 3 καταληγουμε στο διαστημα 3^.5 < x <= 1 + 2^.5 . Εχουμε ομως ηδη παρατηρησει οτι η ισχυς της ανισοτητας ειναι προφανης για -3^.5 <= χ <= 3^.5 , αρα το διαστημα λυσης επεκτεινεται στο [-3^.5 , 1 + 2^.5].

Στην περιπτωση y^2 = 3 - x^2 - 2(-x^2 + 2x + 3)^.5 η y^2 >= 0 μπορει να ισχυει μονο για x^2 <= 3, οποτε καταληγουμε στην 0 <= 2(-x^2 + 2x + 3)^.5 <= 3 - x^2 και, υψωνοντας στο τετραγωνο και παραγοντοποιωντας (οπως πριν), x^4 - 2x^2 - 8x - 3 >= 0 και (x^2 - 2x - 1)(x^2 + 2x + 3) >= 0 : απο τον πρωτο παραγοντα παιρνουμε x >= 1 + 2^.5 *Η* x <= 1 - 2^.5 , και σε συνδυασμο με την x^2 <= 3 καταληγουμε στο διαστημα [-3^.5 , 1 - 2^.5].

Με δεδομενη και την αρχικη ανισοτητα -1 <= x <= 3, συμπεραινουμε οτι αρκει να βρουμε τα ακροτατα της 3 + 2(-x^2 + 2x + 3)^.5 στο [-1 , 1 + 2^.5] και της 3 - 2(-x^2 + 2x + 3)^.5 στο [-1, 1 - 2^.5]. Στην πρωτη περιπτωση εχουμε τοπικο μεγιστο (με μηδενισμο παραγωγου) ισο με 7 στο x = 1 και τοπικα ελαχιστα ισα με 3 στο x = -1 και με 3 + 2^1.5 στο x = 1 + 2^.5 . Στην δευτερη περιπτωση εχουμε μεγιστο ισο με 3 στο x = -1 και ελαχιστο ισο με 3 - 2^1.5 στο x = 1 - 2^.5 .

Με βαση την προηγουμενη παραγραφο συμπεραινουμε οτι η μεγιστη δυνατη τιμη για το |z| ειναι 7^.5 ενω η ελαχιστη δυνατη τιμη ειναι (3 - 2^1.5)^.5 = 2^.5 - 1. Το μεγιστο επιτυγχανεται για x = 1 και y^2 = 3 - 1^2 + 2(-1^2 + 2*1 + 3)^.5 = 6 (οπως ηδη βρηκε ο Χρηστος), ενω το ελαχιστο για x = 1 - 2^.5 και y^2 = 3 - (1 - 2^.5)^2 - 2[-(1 - 2^.5)^2 + 2*(1 - 2^.5) + 3]^.5 = 0.

Γιωργος Μπαλογλου

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #4

Ανεβάζω μια λύση (;) ( χωρίς το ελάχιστο που βρήκε ο Γιώργος ) λίγο πριν φύγω για Αλεξ/πολη . Δεν προλαβαίνω να ψάξω τι μου ξέφυγε . Θα επιστρέψω το απόγευμα της Κυριακής και θα δω τις υπόλοιπες λύσεις και κρίσεις ...
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left| {z^2 + 1} \right| = 2\left| {z + 1} \right| \Rightarrow \left| {z^2 + 1} \right|^2 = 4\left| {z + 1} \right|^2 \Rightarrow \left( {z^2 + 1} \right)\left( {\overline z ^2 + 1} \right) = 4\left( {z + 1} \right)\left( {\mathop z\limits^\_ + 1} \right) \Rightarrow \\ \Rightarrow z^2 \overline z ^2 + z^2 + \overline z ^2 + 1 = 4z\mathop z\limits^\_ + 4z + 4\mathop z\limits^\_ + 4 \Rightarrow \left| z \right|^4 - 4\left| z \right|^2 + z^2 + \overline z ^2 - 3 - 4z - 4\mathop z\limits^\_ = 0 \Rightarrow \\ \end{array} }$
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \Rightarrow \left| z \right|^4 - 4\left| z \right|^2 - 2\left| z \right|^2 + 2\left| z \right|^2 + z^2 + \overline z ^2 - 3 - 4z - 4\mathop z\limits^\_ = 0 \Rightarrow \left| z \right|^4 - 6\left| z \right|^2 + 9 + 2z\mathop z\limits^\_ + z^2 + \overline z ^2 - 3 - 4z - 4\mathop z\limits^\_ = 9 \Rightarrow \\ \Rightarrow \left( {\left| z \right|^4 - 6\left| z \right|^2 + 9} \right) + \left( {z^2 + \overline z ^2 + 2z\mathop z\limits^\_ - 4z - 4\mathop z\limits^\_ + 4} \right) = 9 + 3 + 4 \Rightarrow \left( {\left| z \right|^2 - 3} \right)^2 + \left( {z + \mathop z\limits^\_ - 2} \right)^2 = 16 \\ \end{array} }$
Έχουμε άθροισμα τετραγώνων πραγματικών αριθμών άρα
$\displaystyle{ \left( {\left| z \right|^2 - 3} \right)^2 \le 16 \Rightarrow - 4 \le \left| z \right|^2 - 3 \le 4 \Rightarrow - 1 \le \left| z \right|^2 \le 7 }$ άρα $\displaystyle{ 0 \le \left| z \right| \le \sqrt 7 }$
Όμως $\displaystyle{ z \ne 0 }$ διότι δεν επαληθεύει την αρχική ισότητα άρα $\displaystyle{ 0 < \left| z \right| \le \sqrt 7 }$
( εδώ μάλλον κάτι χάνω από τη λύση του Γιώργου )
Επιπλέον είναι $\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt 7 }$ όταν $\displaystyle{ z + \mathop z\limits^\_ - 2 = 0 \Rightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = 1 }$ οπότε $\displaystyle{ z = 1 + y \cdot i\quad ,\;\;y \in \Re }$ , αντικαθιστούμε στην ισότητα των μέτρων και προκύπτει
$\displaystyle{ z = 1 \pm \sqrt 6 \cdot i }$

#5

Δυο σχολια μπορω να κανω, προς το παρον, για την λυση του Χρηστου:

(1) Δεν ειναι αποδεκτες λυσεις πολυ κοντα στο z = 0, διοτι τοτε το πρωτο τετραγωνο ειναι πολυ κοντα στο 9 και το δευτερο πολυ κοντα στο 4, οποτε υπαρχει ελλειμμα 16 - 9 - 4 = 3.

(2) Ειναι φανερο οτι εχουμε μεγιστο οταν το πρωτο τετραγωνο μεγιστοποιειται, αλλα δεν μπορουμε να πουμε κατι αναλογο για το ελαχιστο.

Γιωργος Μπαλογλου

dement · #6

Ανεβαζω κι εγω μια λυση μου...

Εχουμε $|z^2 + 1| = 2|z+1| \Longleftrightarrow |z|^4 + 2 Re(z^2) + 1 = 4|z|^2 + 8 Re(z) + 4$ . Χρησιμοποιωντας την ταυτοτητα Re(z^2) = 2 Re(z)^2 - |z|^2

καταληγουμε στη σχεση |z|^4 - 6 |z|^2 = - 4 Re(z)^2 + 8 Re(z) + 3

. Το δεξι μελος ειναι μικροτερο η ισο του

, αρα και το αριστερο, απο το οποιο οδηγουμαστε στη σχεση $|z|^2 \leq 7 \Longrightarrow |z| \leq \sqrt{7}$ . Η ισοτητα ισχυει για $z = 1 \pm \sqrt{6} i$ .

Επισης, εχουμε $|z|^2 + 1 \geq 2 (1 - |z|) \Longrightarrow |z|^2 + 2|z| - 1 \geq 0 \Longrightarrow |z| \geq \sqrt{2} - 1$ . Η ισοτητα ισχυει για $z = 1 - \sqrt{2}$ οποτε εχουμε και το ελαχιστο μας.

Δημητρης Σκουτερης

hsiodos · #7

Καλησπέρα σε όλους

Όμορφες όλες οι λύσεις. Η δική μου προσέγγιση για το μέγιστο όπως του Χρήστου , για το ελάχιστο όπως του Δημήτρη.
Η άσκηση (την έχω πάρει από βιβλίο) απλά ζητούσε με το ίδιο δεδομένο να δειχθεί ότι $\left|z \right|\leq 3$
Αυτό δείχνεται εύκολα με τριγωνική και δημιουργία τριωνύμου(Τρόπος αντίστοιχος με του Δημήτρη για το ελάχιστο.)
'Ηταν ενδιαφέρον να αναζητήσουμε μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου του z που εδώ ξεφεύγει κάπως από τις κλασσικές περιπτώσεις.

Γιώργος

#8

hsiodos έγραψε: Όμορφες όλες οι λύσεις. Η δική μου προσέγγιση για το μέγιστο όπως του Χρήστου , για το ελάχιστο όπως του Δημήτρη.
Η άσκηση (την έχω πάρει από βιβλίο) απλά ζητούσε με το ίδιο δεδομένο να δειχθεί ότι $\left|z \right|\leq 3$
Αυτό δείχνεται εύκολα με τριγωνική και δημιουργία τριωνύμου(Τρόπος αντίστοιχος με του Δημήτρη για το ελάχιστο.)
'Ηταν ενδιαφέρον να αναζητήσουμε μέγιστη και ελάχιστη τιμή του μέτρου του z που εδώ ξεφεύγει κάπως από τις κλασσικές περιπτώσεις.

Πολυ ενδιαφερουσα αυτη η συζητηση! Ομολογω πως η δυσκολια του Χρηστου με το ελαχιστο και η αρχικη ελλειψη αλλων λυσεων με εκαναν να υποπτευθω ακομη και οτι η ασκηση ηταν εσφαλμενη ή τουλαχιστον κακοβαλμενη: κατα καποιο τροπο ειχα δικαιο, αφου ο συνθεσας την ασκηση ζητουσε απλως την αποδειξη της ανισοτητας {z| < 3! Επισης δεν φανταζομουν την υπαρξη μιας τοσο απλης λυσης (οπως αυτη του Δημητρη) για το ελαχιστο, δεν προσπαθησα καν!

Οσον αφορα την δικη μου λυση, αφ' ενος μεν γνωριζα οτι ειναι σωστη λογω γραφηματος (βλεπε παρακατω), αφ' ετερου πρεπει να επισημανω οτι μπορει να απλουστευθει με την χρηση μη λυκειακων μεσων, συγκεκριμενα πολλαπλασιαστων Lagrange: ακροτατα της f(x, y) = x^2 + y^2 υπο την συνθηκη y^4 + (2x^2 - 6)y^2 + (x^4 - 2x^2 - 8x -3) = 0.

Για την λυση του Δημητρη για το ελαχιστο εχω να παρατηρησω οτι δεν χρησιμοποιει καν το γεγονος οτι ο z ειναι μιγαδικος! (Προσοχη ομως: αν τυχον ξεχαστουμε και μεινουμε στην x^4 - 2x^2 - 8x -3 = 0 τοτε βγαζουμε λαθος μεγιστο, 1 + 2^.5 ~ 2.4142 (αντι του 7^.5 ~ 2.6457).)

Για τον συνθετη της ασκησης εχω να πω το εξης: στις μερες μας χρειαζεται προσοχη, μια και ακομη και καποιος μαθητης που δεν μπορει να λυσει την ασκηση μπορει να εχει προσβαση σε τεχνικα μεσα (οπως πακετα γραφηματων, γεννητορες τυχαιων αριθμων) που δειχνουν οτι το μεγιστο δεν ειναι 3 αλλα κατι λιγοτερο^ ενω δηλαδη σε καμμια περιπτωση δεν μπορουμε να πουμε οτι η ασκηση ειναι εσφαλμενη, δεν ειναι πληρης και μαλλον δεν θα επρεπε να δοθει οπως δοθηκε -- ετσι νομιζω, αλλα δεν επιμενω κιολας...

Επισυναπτω το γραφημα της |z^2 + 1} = 2|z + 1|, δηλαδη της y^4 + (2x^2 - 6)y^2 + (x^4 - 2x^2 - 8x -3) = 0: δυστυχως οι μοναδες στους δυο αξονες δεν ειναι ισες, αν καποιος μπορει ας στειλει καλυτερο γραφημα.

Γιωργος Μπαλογλου

max-min μέτρου μιγαδικού

max-min μέτρου μιγαδικού

Re: max-min μέτρου μιγαδικού

Re: max-min μέτρου μιγαδικού

Re: max-min μέτρου μιγαδικού

Re: max-min μέτρου μιγαδικού

Re: max-min μέτρου μιγαδικού

Re: max-min μέτρου μιγαδικού

Re: max-min μέτρου μιγαδικού

Μέλη σε σύνδεση