απολλώνιος

#1

Δίνονται δύο σημεία A, B

ενός επιπέδου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του

για τα οποία AM>aBM

, όπου a δοσμένος θετικός αριθμός.

#2

rek2 έγραψε:Δίνονται δύο σημεία ενός επιπέδου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του για τα οποία , όπου a δοσμένος θετικός αριθμός.

Παραθέτω μια λύση η οποία ουσιαστικά ανήκει στον αγαπητό φίλο Γιώργο Τσίντσιφα
με τον οποίο ανταλλάσσω πολλές φορές σκέψεις και ιδέες και ο οποίος μπορώ να πώ ότι είναι ένας
άοκνος ερευνητής των Μαθηματικών.

: Απολλώνειος 1.PNG (36.64 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα έχει κατασκευαστεί ο Απολλώνειος κύκλος $\displaystyle{(C)}$ με διάμετρο το τμήμα $\displaystyle{CD}$ όπου $\displaystyle{C,D}$
συζυγή αρμονικά των $\displaystyle{A,B}$ και με το μερικό λόγο $\displaystyle{(ABC)=a,\ \ a>0}$ δηλαδή: $\displaystyle{\frac{AC}{CB}=a}$ .

Αν $\displaystyle{S}$ είναι τυχαίο σημείο του κύκλου $\displaystyle{(C)}$ τότε στο τρίγωνο $\displaystyle{ASB}$ η $\displaystyle{SC}$ είναι διχοτόμος.

Θεωρούμε τώρα ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ στο εσωτερικό του κύκλου $\displaystyle{(C)}$ , φέρουμε στη συνέχεια την $\displaystyle{CM}$ η οποία ορίζει στον $\displaystyle{(C)}$ το σημείο $\displaystyle{S}$ .
Αν κατασκευάσουμε το συμμετρικό $\displaystyle{B'}$ του σημείου $\displaystyle{B}$ ως προς τη διχοτόμο $\displaystyle{SC}$ τότε λόγω της συμμετρίας αυτής θα είναι:
$\displaystyle \varphi >\omega \ \ (1)$
γιατί στο τρίγωνο $\displaystyle{MAB'}$ η γωνία $\displaystyle{\varphi}$ είναι εξωτερική.
Όμως θα ισχύει ακόμα και η σχέση:
$\displaystyle \lambda >\varphi \ \ (2)$
γιατί στο τρίγωνο $\displaystyle{MSB}$ η γωνία $\displaystyle \kappa$ είναι εξωτερική.

Από τις (1) και (2) προκύπτει:
$\displaystyle \lambda >\omega \ \ (3)$
Όμως:
$\displaystyle \begin{matrix} \hat{M_1}=180^o-\theta -\varphi \ \ (4) \\ \hat{M_2 }= 180^o-\theta -\omega \ \ (5) \end{matrix}$
Οι σχέσεις (4) και (5) σύμφωνα με την (1) οδηγούν στην:
$\displaystyle \hat{M_1}<\hat{M_2}$
και η οποία με τη σειρά της οδηγεί στην:
$\displaystyle \kappa <\lambda \ \ (6)$
Η σχέση (6) δηλώνει ότι αν φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\hat{AMB}}$ αυτή θα τμήσει την $\displaystyle{AB}$ σε ένα σημείο $\displaystyle{C'}$ , δεξιότερα του σημείου $\displaystyle{C}$
και στην περίπτωση αυτή ο μερικός λόγος $\displaystyle{(ABC')}$ θα είναι μεγαλύτερος του $\displaystyle{a}$ . Επομένως για το σημείο αυτό θα είναι τελικά:
$\displaystyle \frac{MA}{MB}=\frac{AC'}{C'B}>\frac{AC}{CB}=a$
Δηλαδή:
$\displaystyle{(MA)>a(MB)}$
Άρα λοιπόν η δοθείσα σχέση ικανοποιείται για όλα τα εσωτερικά σημεία του κύκλου.

Για την παρουσίαση:
Κώστας Δόρτσιος

#3

rek2 έγραψε:Δίνονται δύο σημεία ενός επιπέδου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του για τα οποία , όπου a δοσμένος θετικός αριθμός.

Παραθέτω και μια ακόμα λύση που στηρίζεται στη συνέχεια σημειακών συναρτήσεων.

: Απολλώνειος 2.PNG (17.64 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα θεωρούμε τον απολλώνειο κύκλο $\displaystyle{(C)}$ .

Επομένως το ευκλείδειο επίπεδο $\displaystyle{\Omega}$ διαμερίζεται στα εξής χωρία:

$\displaystyle{\Omega_1,\ \ C,\ \ \Omega_2}$ .

Επομένως είναι:

$\displaystyle \Omega =\Omega _1\bigcup{C}\bigcup{\Omega _2}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{F_1:\Omega_2 \rightarrow R}$

με τύπο:

$\displaystyle{F_1(M)=(AM)-a(MB)}$

όπου $\displaystyle{a>0}$ μια σταθερή παράμετρος που εκφράζέι το μερικό λόγο $\displaystyle{(ABC)=a}$

Η συνάρτηση αυτή εύκολα δείχνεται ότι είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $\displaystyle{\Omega_2}$ .

Ακόμα για τη συνάρτηση αυτή θα είναι:

$\displaystyle{F_1(B)=(AB)-a(BB)=(AB)>0}\ \ (1)$

Ισχυριζόμαστε ότι θα είναι ακόμα:

$\displaystyle{F_1(M)>0, \forall M\in{\Omega_2}}\ \ (2)$

Ο ισχυρισμός αυτός είναι αληθής διότι αν υπήρχε σημείο $\displaystyle{M_1\in{\Omega_2}:F_1(M_1)<0}\ (3)$

τότε λόγω της συνέχειας και των (1) και (3) θα υπήρχε τουλάχιστον ένα σημείο $\displaystyle{M_o}$ μέσα στον χώρο $\displaystyle{\Omega_2}$ τέτοιο ώστε:

$\displaystyle{F_1(M_o)=0 \ \ (4)}$

Η σχέση αυτή όμως είναι άτοπη διότι αυτό ισχύει μόνον για σημεία επί του απολλωνείου κύκλου $\displaystyle{C}$ .

Επομένως για όλα τα σημεία του χωρίου $\displaystyle{\Omega_2}$ ισχύει: $\displaystyle{ F_1(M)>0}$ δηλαδή: $\displaystyle{(AM)>a(BM)}$ .

Με τον ίδιο τρόπο ορίζοντας αντίστοιχη συνάρτηση στο χωρίο $\displaystyle{\Omega_1}$ δείχνεται εύκολα ότι ι για τα σημεία του χωρίου αυτού θα είναι: $\displaystyle{(AM)<a(MB)}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Σχόλιο:

Με δεδομένα τα σημεία $\displaystyle{A, B}$ και τις διάφορες θετικές τιμές του μερικού λόγου $\displaystyle{(ABC)}$ προκύπτει ότι
ο Απολλώνειος κύκλος άλλοτε συμπεριλαμβάνει στο εσωτερικό του το σημείο $\displaystyle{A}$ και άλλοτε το σημείο $\displaystyle{B}$ (όπως σχεδιάστηκε
στις δύο λύσεις).
Με άλλα λόγια είναι:
Αν $\displaystyle{0<a<1}$ τότε ο κύκλος περιλαμβάνει στο σημείο $\displaystyle{A}$ και στο εσωτερικό του η παράσταση $\displaystyle{(AM)-a(BM)}$ γίνεται αρνητική ενώ στο εξωτερικό του θετική.
Αν $\displaystyle{1<a}$ τότε ο κύκλος περιλαμβάνει το σημείο $\displaystyle{B}$ και στο εσωτερικό του η παράσταση $\displaystyle{(AM)-a(BM)}$ γίνεται θετική ενώ στο εξωτερικό αρνητική.
Αν $\displaystyle{a=1}$ τότε ο κύκλος γίνεται η μεσοκάθετος του τμήματος $\displaystyle{AB}$ και δεξιά του η παράσταση αυτή γίνεται θετική ενώ αριστερά αρνητική.
Εννοείται ότι πάνω στον κύκλο ή στη μεσοκάθετη η παράσταση αυτή μηδενίζεται.

#4

Πολυ καλά και με λιτά, απλά πράγματα!

Παρόμοια απόδειξη με τη πρώτη εχω, με το

να ειναι η τομή του κύκλου με την

.

Εχω συναντήσει αναφορές σε αυτή τη πρόταση, αλλά την ίδια δεν την εχω συναντήσει μέχρι τώρα.

Την χρησιμοποιώ στην απόδειξη του θέματος 66 εδω.

Αγαπητέ Κώστα σας ευχαριστώ και σας εύχομαι καλές γιορτές.

Υγεία, κάθε επιτυχία, πρόοδο, ευημερία, ευμάρεια και επι γης ειρήνη!

απολλώνιος

απολλώνιος

Re: απολλώνιος

Re: απολλώνιος

Re: απολλώνιος

Μέλη σε σύνδεση