A=A', a=a', c-b=c'-b'

#1

Αν δυο τρίγωνα ABC

και

έχουν

, τότε είναι ίσα.

#2

Λίγο εκτός:

Από τον νόμο των συνημιτόνων έχουμε

$\displaystyle{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2-2bc+2bc(1-\cos A)\implies \boxed{a^2=(b-c)^2+4bc\sin ^2 \frac{A}{2}}}$

Ομοίως, είναι και

$\displaystyle{\boxed{a'^2=(b'-c')^2+4b'c'\sin ^2 \frac{A'}{2}}}$

Λόγω των υποθέσεων προκύπτει $\displaystyle{bc=b'c'}$ και επειδή είναι και $\displaystyle{b-c=b'-c'}$ βρίσκουμε $\displaystyle{b=b',c=c' .}$

Τότε, από ΠΠΠ τα τρίγωνα είναι ίσα.

#3

Πιο ... αρχαιοελληνικά:

Τοποθετούμε τα δύο τρίγωνα 'κατά κορυφή', έτσι ώστε να είναι συνευθειακά τα C, A, B'

και να είναι συνευθειακά τα B, A, C'

-- αυτό μπορεί βεβαίως να γίνει χάρις στην υπόθεση A=A'

. Από την υπόθεση a=a'

προκύπτει η |BC|=|B'C'|

, και από την υπόθεση $c-b=c'-b'\Leftrightarrow b+c'=c+b'$ προκύπτει η |BC'|=|CB'|

. Συμπεραίνουμε ότι τα τρίγωνα BCC'

και

είναι ίσα. Από την ισότητα των δύο τριγώνων προκύπτει η ισότητα γωνιών CBC'=C'B'C

, δηλαδή η CBA=C'B'A

. Συμπεραίνουμε ότι τα τρίγωνα ABC

και

έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες με |BC|=|B'C'|

, άρα είναι ίσα.

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

gbaloglou έγραψε: Θα δω πως και πότε θα καταφέρω να στείλω το σχήμα -- το έχω έτοιμο από το πρωί αλλά δεν το δέχεται το , που φαινόταν επίσης εκτός λειτουργίας για αρκετές ώρες, από αυτόν τον υπολογιστή εν πάσει περιπτώσει.

Γιώργο, και 'γω αποφεύγω την Γεωμετρία μόνο και μόνο γιατί με παιδεύουν τα σχήματα. Τα κάνω σε Powerpont γιατί δεν έμαθα Geogebra οπότε μου παίρνουν άπειρο χρόνο.

Πάντως όταν και άμα κάνω σχήμα το μεταφέρω με copy/paste στο Paint. Εκεί το σώζω ως .png ή .jpg από όπου το φορτώνω στο mathematica με "προσθήκη συνημμένου".

Είμαι βέβαιος ότι οι εξπέρ έχουν καλύτερο τρόπο αλλά το παραπάνω λειτουργεί.

Μ.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
gbaloglou έγραψε: Θα δω πως και πότε θα καταφέρω να στείλω το σχήμα -- το έχω έτοιμο από το πρωί αλλά δεν το δέχεται το , που φαινόταν επίσης εκτός λειτουργίας για αρκετές ώρες, από αυτόν τον υπολογιστή εν πάσει περιπτώσει.
Γιώργο, και 'γω αποφεύγω την Γεωμετρία μόνο και μόνο γιατί με παιδεύουν τα σχήματα. Τα κάνω σε Powerpont γιατί δεν έμαθα Geogebra οπότε μου παίρνουν άπειρο χρόνο.

Πάντως όταν και άμα κάνω σχήμα το μεταφέρω με copy/paste στο Paint. Εκεί το σώζω ως .png ή .jpg από όπου το φορτώνω στο mathematica με "προσθήκη συνημμένου".

Είμαι βέβαιος ότι οι εξπέρ έχουν καλύτερο τρόπο αλλά το παραπάνω λειτουργεί.

Μιχάλη ακριβώς έτσι στέλνω και εγώ τα σχήματα μου -- όπως μόλις διεπίστωσα, φαίνεται τελικά να έφταιγε ... το όνομα του σχήματος, A=A'&a=a'&b-c=b'-c'.png...

Επεξεργασία 30-9-13 1 μμ: έβγαλα το όνομα του σχήματος από το LaTex για να φαίνονται τα &

Ευχαριστώ,

Γιώργος Μπαλόγλου

#6

Εΰχάριστη παραλλαγή του αρχικού προβλήματος: ισότητα και στην περίπτωση A=A', a=a', B-C=B'-C'

.

Γιώργος Μπαλόγλου

#7

gbaloglou έγραψε:Εΰχάριστη παραλλαγή του αρχικού προβλήματος: ισότητα και στην περίπτωση .

Γιώργος Μπαλόγλου

Πράγματι είναι B+C=180-A = 180-A' =B'+C'

.

Οι $B+C =B'+C', \, B-C=B'-C'$ δίνουν $B=B', \, C=C'$ , και λοιπά.

Μ.

S.E.Louridas · #8

rek2 έγραψε:Αν δυο τρίγωνα και έχουν , τότε είναι ίσα.

Από την άλλη μεριά έχουμε:
Αν υποθέσουμε ότι ότι πρέπει να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

όταν δίδονται τα μεγέθη $BC=a, c-b=k, \angle A,$ θα θεωρήσουμε σημείο

της

ώστε

με το τρίγωνο TCB

να είναι πλέον κατασκευάσιμο μονοσήμαντα κατά μέγεθος άρα και το τρίγωνο ABC

, αφού το σημείο

προσδιορίζεται σαν τομή του τόξου που βλέπει το

υπό γωνία $\displaystyle{\frac{{\pi + \angle A}}{2}}$ και του κύκλου (B, c-b)

.
Άρα τα τρίγωνα $ABC,\quad A{'} B{'} C{'}$ είναι ίσα.

Μία σημαντική επισήμανση:
Για να μην μείνει η λανθασμένη εντύπωση ότι για να εφαρμόσουμε την προηγούμενη μέθοδο Απόδειξης για την ισότητα δύο σχημάτων θα πρέπει να εισέλθουμε στην ουσία της κατασκευής και άρα να εμπλακούμε στην αντίστοιχη χρονοβόρο διαδικασία θα ήθελα να επισημάνω ότι:
Αν επιλέξουμε την παραπάνω μέθοδο απόδειξης ισότητας σχημάτων, αρκεί να αποδείξουμε ότι η αντίστοιχη κατασκευή είναι δυνατή και μονοσήμαντη και ακριβώς εκεί τελειώσαμε.

A=A', a=a', c-b=c'-b'

A=A', a=a', c-b=c'-b'

Re: A=A', a=a', c-b=c'-b

Re: A=A', a=a', c-b=c'-b'

Re: A=A', a=a', c-b=c'-b'

Re: A=A', a=a', c-b=c'-b'

Re: A=A', a=a', c-b=c'-b'

Re: A=A', a=a', c-b=c'-b'

Re: A=A', a=a', c-b=c'-b'

Μέλη σε σύνδεση