Επαναληπτική άσκηση

siobaras · #1

Γεια χαρά σε όλους!
Έφτιαξα μια άσκηση για το επαναληπτικό που βάλαμε στο σχολείο μου και θέλω τη γνώμη σας!

Σε ένα δείγμα μεγέθους

, οι $n_{1}$ παρατηρήσεις έχουν την τιμή

και οι $n_{2}$ παρατηρήσεις την τιμή

, με $n_{1}+n_{2}=n$ . Θεωρούμε τον δ.χ. $\Omega$ ενός π.τ. με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και τα ενδεχόμενα A,B

του $\Omega$ , για τα οποία υποθέτουμε ότι είναι ισχύουν:
1) $A\cap{B}=\emptyset$
2) $n_{1}=P(A)n$ , $n_{2}=P(B)n$

α) Να δείξετε ότι B=A'

.
β) Ν.δ.ο. το δείγμα έχει μέση τιμή ίση με P(B)

.
γ) Ν.δ.ο. η διακύμανση του δείγματος ισούται με P(A)P(B)

.
δ) Αν

άρτιος, να βρείτε για ποιά τιμή του P(A)

η διακύμανση του δείγματος γίνεται μέγιστη.

Ν.Σιώμος

ΥΓ.: Δεν είναι απαραίτητο να είναι ισοπίθανα τα απλά ενδεχόμενα. Αρκεί $P(w)\neq 0, \forall w\in\Omega$

pana1333 · #2

Καλησπέρα και καλώς ήρθες. Πολύ μου άρεσε η άσκηση σου αν και είναι πιστεύω (κακώς ίσως) είναι εκτός "πνεύματος" πανελληνίων (πάντα με βάση τα θέματα που πέφτουν). Είναι μια άσκηση όμως που δείχνει ότι ο μαθητής έχει κατανοήσει κάποιες βασικές έννοιες. Ίσως να απέφευγα και το πρώτο ερώτημα.....

siobaras · #3

Ευχαριστώ συνάδελφε!
Δεν θα πω τη γνώμη μου, γιατί κανείς δεν είναι εντελώς αμερόληπτος με κάτι που έφτιαξε ο ίδιος.

Tolaso J Kos · #4

Θα κάνω μία προσπάθεια να το απαντήσω, και θα ήθελα να μου πείτε τη γνώμη σας.
Να πω επίσης , πως είναι πολύ ωραίο θέμα.

siobaras έγραψε: Σε ένα δείγμα μεγέθους , οι $n_{1}$ παρατηρήσεις έχουν την τιμή και οι $n_{2}$ παρατηρήσεις την τιμή , με $n_{1}+n_{2}=n$ . Θεωρούμε τον δ.χ. $\Omega$ ενός π.τ. με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και τα ενδεχόμενα του $\Omega$ , για τα οποία υποθέτουμε ότι είναι ισχύουν:
1) $A\cap{B}=\emptyset$
2) $n_{1}=P(A)n$ , $n_{2}=P(B)n$

α) Να δείξετε ότι .
β) Ν.δ.ο. το δείγμα έχει μέση τιμή ίση με .
γ) Ν.δ.ο. η διακύμανση του δείγματος ισούται με .
δ) Αν άρτιος, να βρείτε για ποιά τιμή του η διακύμανση του δείγματος γίνεται μέγιστη.

Ν.Σιώμος

α)
Έχουμε:
$\displaystyle{{\left.\begin{matrix} n_1=P(A)n & \\ n_2=P(B)n& \end{matrix}\right\}(+)\Rightarrow n_1+n_2=P(A)n+P(B)n}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 1=P(A)+P(B)\overset{A\cap B=\varnothing }{\Leftrightarrow } P\left ( \Omega \right )=P(A\cup B)\Leftrightarrow A\cup B=\Omega }}$

Άρα έπεται άμεσα το ζητούμενο.

β. Είναι $\displaystyle{\bar{x}=\frac{n_1\cdot 0+n_2\cdot 1}{n}=\frac{P(B)n}{n}=P(B)}$ και έχουμε το ζητούμενο.
γ.Για τη διακύμανση έχουμε:

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\left ( \sum (x_i-\bar{x})^2 \right )\cdot n_i\Leftrightarrow s^2=\frac{1}{n}\left ( \sum (x_i-P(B)^2) \right )n_i\Leftrightarrow}$
$\displaystyle{{\Leftrightarrow \frac{1}{n}\left [ n_1\left ( 0-P(B) \right )^2 -n_2\left ( 1-P(B) \right )^2\right ]\Leftrightarrow s^2=\frac{1}{n}\left [ n_1P^2(B)+P^2(A)n_2 \right ]\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow s^2=\frac{1}{n}\left [ P(A)nP^2(B)+nP^2(A)P(B) \right ]\Leftrightarrow s^2=P(A)P(B)\left ( P(A)+P(B) \right )=P(A)P(B)}$
το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο.

δ. Είναι $\displaystyle{P(A)+P(B)=1}$ και $\displaystyle{s^2=P(A)P(B)\Leftrightarrow s^2=P(A)(1-P(A))=P(A)-P^2(A)}$

Η διακύμανση γίνεται μέγιστη όταν το τριώνυμο γίνεται μέγιστο, και αυτό συμβαίνει στο $\displaystyle{x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}}$ . Άρα η τιμή του $\displaystyle{P(A)_{max}=\frac{1}{2}}$ .

(*) Άλλη απόδειξη είναι να το πάρουμε ως συνάρτηση με μεταβλητή το $\displaystyle{P(A)}$ και να τη μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία με παραγώγους .

Τόλης

Επαναληπτική άσκηση

Επαναληπτική άσκηση

Re: Επαναληπτική άσκηση

Re: Επαναληπτική άσκηση

Re: Επαναληπτική άσκηση

Μέλη σε σύνδεση