Γεωμετρία

S.E.Louridas · #1

Δίδονται δύο ευθύγραμμα τμήματα α, β.
Να κατασκευαστεί ευθύγραμμο τμήμα x, τέτοιο πού
$x = \sqrt[4]{{\alpha ^4 + \beta ^4 }}.$

S.E.Louridas

#2

Ισχύει

$\displaystyle{a^4 +b^4 =(a^2 +b^2)^2 -2a^2 b^2 =(a^2 +b^2 -\sqrt{2}ab)(a^2 +b^2 +\sqrt{2}ab)=(a^2 +b^2 -2ab \cos 45^{0})(a^2 +b^2 -2ab \cos 135^{0}).}$

Τα τμήματα $\displaystyle{c=\sqrt{a^2 +b^2 -2ab \cos 45^{0}},d=\sqrt{a^2 +b^2 -2ab \cos 135^{0}},}$

είναι κατασκευάσιμα (πλευρές τριγώνου στο οποίο οι άλλες δύο πλευρές είναι $\displaystyle{a,b}$ και η περιεχόμενη γωνία είναι $45^{0},135^{0}$ αντίστοιχα.)

Τότε όμως, κατασκευάζεται και το $\displaystyle{\sqrt{cd}}$ ως ύψος ορθογωνίου τριγώνου, το οποίο έχει κάθετες πλευρές $\displaystyle{c,d.}$

S.E.Louridas · #3

Για λόγους Μαθηματικού πλουραλισμού και μόνο θα εκθέσουμε και την άποψη μας:
Επί των πλευρών ορθής γωνίας xOy παίρνουμε:
${\rm A} \in Ox:{\rm O}{\rm A} = \alpha ,\;{\rm B} \in Oy:{\rm O}{\rm B} = \beta ,\;\Delta \in {\rm A}{\rm B}:{\rm O}\Delta \bot {\rm A}{\rm B}.$
Στην προέκταση της ημιευθείας ΟΔ θεωρούμε ΔΕ=ΔΒ. Τέλος θεωρούμε σημείο Ζ της υποτείνουσας ΑΒ ώστε ΑΖ=ΑΕ και Τ το σημείο τομής της κάθετης στην ΑΒ στο σημείο Ζ με την περιφέρεια με διάμετρο ΑΒ. Το ΑΤ είναι το ζητούμενο ευθύγραμμο τμήμα.
Απόδειξη:
$\alpha ^2 = {\rm A}\Delta \cdot {\rm A}{\rm B},\beta ^2 = {\rm B}\Delta \cdot {\rm A}{\rm B} \Rightarrow \alpha ^4 + \beta ^4 = {\rm A}{\rm B}^2 \cdot {\rm A}{\rm E}^2 = {\rm A}{\rm B}^2 \cdot {\rm A}{\rm Z}^2 = {\rm A}{\rm T}^4 .$

S.E.Louridas

Γεωμετρία

Γεωμετρία

Re: Γεωμετρία

Re: Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση