Περιμετρος

[komi]

Από το μέσο μιας πλευράς ενός σκαληνού τριγώνου να χαράξατε μια ευθεία η οποία θα ''κόβει'' στο μισό την περίμετρο του τρίγωνου.

[S.E.Louridas]

Αρκεί να ενώσουμε το μέσο Μ της ΒΓ (προφανώς και δεν βλάπτεται τη γενικότητα) με το μέσον Ε της ΓΔ, όπου Δ σημείο της ΓΑ, ώστε ΑΔ=ΑΒ.

(*) Δεν θα έδινα άμεσα την λύση γιά να ασχοληθούν και οι νεώτεροι λύτες αλλά το έκανα γιά να ερωτήσω:
Τι έχουμε στην περίπτωση που θέλουμε το ίδιο πρόβλημα αν αντί γιά μέσο δινόταν τυχόν εσωτερικό σημείο πλευράς του τριγώνου;

S.E.Louridas

[Mihalis_Lambrou]

Αρκεί να ενώσουμε το μέσο Μ της ΒΓ (προφανώς και δεν βλάπτεται τη γενικότητα) με το μέσον Ε της ΓΔ, όπου Δ σημείο της ΓΑ, ώστε ΑΔ=ΑΒ.
<...>
Τι έχουμε στην περίπτωση που θέλουμε το ίδιο πρόβλημα αν αντί γιά μέσο δινόταν τυχόν εσωτερικό σημείο πλευράς του τριγώνου;

Ωραίο και απλό. Να δορθώσω μόνο ένα τυπογραφικό (τα Α, Γ πρέπει να γραφούν ανάποδα). Με άλλα λόγια
Αρκεί να ενώσουμε το μέσο Μ της ΒΓ (προφανώς και δεν βλάπτεται τη γενικότητα) με το μέσον Ε της ΑΔ, όπου Δ σημείο της ΓΑ, ώστε ΓΔ=ΑΒ.

Για το γενικό πρόβλημα: Έστω Ν το δοθέν σημείο. Βρίσκουμε το Δ ως άνω (δηλαδή με βάση το Μ). Μεταφέρουμε τώρα το Δ στο Δ' , όπου ΔΔ'= ΜΝ (διατηρούμε την φορά γύρω από το τρίγωνο.)

Φιλικά,

Μιχάλης

[KARKAR]

Με σχήμα :

Για τη δεύτερη περίπτωση , μετακινούμε το , στη θέση , ώστε

[S.E.Louridas]

Ευχαριστώ τον Μιχάλη και τον Θανάση.
Εξηγώ με βάση το σχήμα του Θανάση (όπου C το Γ και έστω ΑΒΑΓ) την παραπάνω διαπραγμάτευσή μου:
Προέκτεινα την ΓΑ πρός το μέρος της κορυφής Α, ώστε ΑΔ=ΑΒ.
Θεωρώντας τώρα το μέσο Ε της ΓΔ, προκύπτει: ΕΔ=ΕΓΕΑ+ΑΒ+ΒΜ=ΕΓ+ΓΜ.

S.E.Louridas