Μονόχρωμο ορθογώνιο

#1

Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες, με δύο χρώματα.
Δείξτε ότι υπάρχει ορθογώνιο με κορυφές του ίδιου χρώματος.

#2

Έστω ότι χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου κόκκινα ή μπλε. Θεωρούμε 7 σημεία A_1,A_2,...,A_7

σε μια ευθεία.

Τότε υπάρχουν τουλάχιστον 4 του ίδιου χρώματος. Ας υποθέσουμε ότι αυτά είναι τα A_1,A_2,A_3,A_4

κι ότι είναι μπλε.

Προβάλλουμε τα A_i

σε δυο νέες ευθείες παίρνοντας τα B_i

και $\Gamma_i$ για i=1,2,3,4

.

Αν 2 από τα B_i

είναι μπλε ή 2 από τα $\Gamma_i$ είναι μπλε, τελειώσαμε. Αν όχι, τότε το πολύ 1 από τα B_i

και το πολύ 1 από τα $\Gamma_i$ είναι μπλε.

Συνεπώς, υπάρχουν το πολύ 2 τμήματα $B_k\Gamma_k$ με κορυφές διαφορετικού χρώματος. Αφού συνολικά έχουμε 4 τμήματα της μορφής $B_k\Gamma_k$ , υπάρχει ορθογώνιο της μορφής $B_iB_j\Gamma_j\Gamma_i$ με όλες τις κορυφές κόκκινες (στο σχήμα είναι το $B_4B_2\Gamma_2\Gamma_4$ ).

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Θα αποδείξουμε γενικότερα ότι αν χρωματίσουμε τα σημεία του επιπέδου με ακέραιες συντεταγμένες με

διαφορετικά χρώματα (όπου $n \ge 2$ ακέραιος), τότε υπάρχει ορθογώνιο με κορυφές του ίδιου χρώματος.

Για $k \in \mathbb{N}$ θέτουμε

$\displaystyle{{A_k} = \left\{ {\left( {k,j} \right):j = 0,1, \ldots ,n} \right\}.}$

Επειδή το σύνολο $\displaystyle{{A_k}}$ έχει n+1

στοιχεία, από την αρχή της περιστεροφωλιάς δύο τουλάχιστον από τα στοιχεία του έχουν το ίδιο χρώμα.

Θεωρούμε τώρα τα $\displaystyle{{n^{n + 1}} + 1}$ σύνολα $\displaystyle{{A_0},{A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{{n^{n + 1}}}}.}$

Επειδή υπάρχουν $\displaystyle{{n^{n + 1}} }$ τρόποι χρωματισμού ενός συνόλου n+1

στοιχείων με

χρώματα, θα υπάρχουν $\displaystyle{k,\ell \in \left\{ {0,1, \ldots ,{n^{n + 1}}} \right\}}$ τέτοιοι, ώστε τα σημεία $\displaystyle{\left( {k,j} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {\ell ,j} \right)}$ να έχουν το ίδιο χρώμα για κάθε $\displaystyle{j \in \left\{ {0,1, \ldots ,n} \right\}.}$

Αν $\displaystyle{\left( {k,a} \right),\left( {k,b} \right) \in {A_k}}$ είναι δύο σημεία με το ίδιο χρώμα, τότε και τα σημεία $\displaystyle{\left( {\ell ,a} \right),\left( {\ell ,b} \right) \in {A_\ell }}$ έχουν το ίδιο χρώμα με τα $\displaystyle{\left( {k,a} \right),\left( {k,b} \right) ,}$ οπότε το ορθογώνιο με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{\left( {k,a} \right),\left( {k,b} \right),\left( {\ell ,a} \right),\left( {\ell ,b} \right)}$ είναι μονοχρωματικό.

#4

Ισχύει επίσης πως όχι μόνο μπορούμε να βρούμε μονόχρωμο ορθογώνιο αλλά μονόχρωμο τετράγωνο.

Η απόδειξη είναι πολύ πιο δύσκολη γι' αυτό και εγώ δίνω την προειδοποίησή μου: «Προσοχή! Μην το δοκιμάσετε στο σπίτι.»

Μονόχρωμο ορθογώνιο

Μονόχρωμο ορθογώνιο

Re: Μονόχρωμο ορθογώνιο

Re: Μονόχρωμο ορθογώνιο

Re: Μονόχρωμο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση