Σκακιέρα!

#1

Οι αριθμοί 1,2, . . . ,64

τοποθετούνται τυχαία στα κελιά ενός πίνακα 8 × 8.

Δείξτε ότι υπάρχει υποπίνακας 3 × 3

του οποίου τα στοιχεία έχουν άθροισμα μεγαλύτερο του 145.

Πηγή:
http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/EGMO ... st2012.pdf

#2

socrates έγραψε:Οι αριθμοί τοποθετούνται τυχαία στα κελιά ενός πίνακα
Δείξτε ότι υπάρχει υποπίνακας του οποίου τα στοιχεία έχουν άθροισμα μεγαλύτερο του

Κοιτάμε τις

περιοχές στη παρακάτω διαμέριση της σκακιέρας. Μερικές είναι $3\times 3$ και άλλες μικρότερες. Επίσης κοιτάμε τους

αριθμούς $46, 47, ... \, , 64$ . Από αυτούς τουλάχιστον τρεις θα πέσουν στην ίδια από τις

περιοχές (δεν μπορεί σε όλες να είναι το πολύ δύο γιατί οι αριθμοί είναι περισσότεροι από $2\times 9=18$ ).

Η περιοχή που θα πέσουν οι τρεις αριθμοί μπορεί ήδη να είναι $3\times 3$ . Αν δεν είναι, την μεγαλώνουμε ώστε να γίνει $3\times 3$ . Σε αυτήν οι

αριθμοί (που είναι τρεις από τους $46, 47, ... \, , 64$ και άλλοι έξι ακόμα) έχουν άθροισμα τουλάχιστον
46+47+48+1+2+3+4+5+6= 163 >145

.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Το 145 είναι αρκετά μικρό. Μπορώ να δείξω τουλάχιστον 239 και μαλλον και αυτό βελτιώνεται.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #4

Ἐρώτηση: Τί σημαίνει 3x3 ὑποπίνακας; Θά πρέπει νά εἶναι συνεχόμενες οἱ γραμμές καί οἱ στῆλες; Ἄν δέν ὑπάρχει τέτοιος περιορισμός, τότε εὔκολα ἀποδεικνύεται ὅτι ἀντί γιά ἄθροισμα τουλάχιστον 145, μποροῦμε να βροῦμε ὑποπίνακα μἐ ἄθροισμα τουλάχιστον 293!

#5

Demetres έγραψε:Το 145 είναι αρκετά μικρό. Μπορώ να δείξω τουλάχιστον και μαλλον και αυτό βελτιώνεται.

Πράγματι! Αν δεν έχω λάθος μπορούμε και 245

:

Παίρνουμε τα τετράγωνα

$\displaystyle{(1:3),(1:3)}$
$\displaystyle{(1:3),(4:6)}$
$\displaystyle{(1:3),(6:8)}$
$\displaystyle{(4:6),(1:3)}$
$\displaystyle{(4:6),(4:6)}$
$\displaystyle{(4:6),(6:8)}$
$\displaystyle{(6:8),(1:3)}$
$\displaystyle{(6:8),(4:6)}$
$\displaystyle{(6:8),(6:8)}$

οπότε έχουμε άθροισμα στοιχείων τουλάχιστον $(1+2+...+64)+3\cdot 1 +2+3+...+15=2202$ οπότε υπάρχει τετράγωνο $3\times 3$ με άθροισμα στοιχείων τουλάχιστον $\displaystyle{2202/9>244...}$

#6

socrates έγραψε:
Παίρνουμε τα τετράγωνα

$\displaystyle{(1:3),(1:3)}$
$\displaystyle{(1:3),(4:6)}$
$\displaystyle{(1:3),(6:8)}$
$\displaystyle{(4:6),(1:3)}$
$\displaystyle{(4:6),(4:6)}$
$\displaystyle{(4:6),(6:8)}$
$\displaystyle{(6:8),(1:3)}$
$\displaystyle{(6:8),(4:6)}$
$\displaystyle{(6:8),(6:8)}$

Δεν καταλαβαίνω τον συμβολισμό. Ποια τετράγωνα εννοείς;

Ευχαριστώ.

Edit αργότερα: Από τον Δημήτρη Τσιντσιλίδα (jim.jt) πήρα το παρακάτω Π.Μ.

Πιστεύω πως η πρώτη στήλη με αριθμούς είναι οι στήλες στη σκακιέρα και η δεύτερη στήλη τις γραμμές ή αντίστροφα.

Π.χ. $\displaystyle{(1:3),(1:3)}$ είναι το τετράγωνο που έχει τα κοινά "τετραγωνάκια" των τριών πρώτων γραμμών και των τριών πρώτων στήλων.

Νομίζω ότι ερμηνεύει σωστά. Το αφήνω για όφελος των άλλων που μπορεί να προβληματιστούν όπως εγώ.

Ευχαριστώ τον Δημήτρη.

#7

socrates έγραψε:
Demetres έγραψε:Το 145 είναι αρκετά μικρό. Μπορώ να δείξω τουλάχιστον 239 και μαλλον και αυτό βελτιώνεται.
Πράγματι! Αν δεν έχω λάθος μπορούμε και

Θαυμάσια. Ας το κάνουμε 246

.

Στη παραπάνω κάλυψη κάποιο τετράγωνο καλύπτεται

φορές (γι' αυτό και ελήφθη επιπρόσθετα ο προσθετέος $3\cdot1$ ).

Αν πάρουμε στροφές και λοιπά, υπάρχουν τέσσερα τέτοια τετράγωνα. Σε αυτά ο ποιο μεγάλος αριθμός είναι τουλάχιστον

. Παίρνοντας αυτή την κάλυψη, το συνολικό άθροισμα είναι τουλάχιστον
$(1+2+...+64)+2\cdot 4 + 1 +2+3+...+15=2208$ οπότε υπάρχει τετράγωνο $3\times 3$ με άθροισμα στοιχείων τουλάχιστον $\displaystyle{2208/9>245$

#8

Όταν έλεγα για 239 είχα ακριβώς υπόψη την μέθοδο του Θανάση. Γιατί έβγαλα 239 αντί 245 δεν γνωρίζω.

Η μέθοδος που προτείνει ο Μιχάλης, με λίγη προσοχή το βελτιώνει κι' άλλο:

Παίρνουμε την κάλυψη του Θανάση (φανταζομαί εννοεί ότι τα $2\times 2, 2\times 3$ και $3\times 2$ τετράγωνα επεκετείνονται με το μοναδικό δυνατό τρόπο σε $3\times 3$ ) και παίρνουμε και την συμμετρική του κάλυψη ως προς την κύρια διαγώνιο που τρέχει από το (1,8)

στο

.

Έχουμε συνολικά 18 $3\times 3$ τετράγωνα έτσι ώστε

2 κελιά καλύπτονται από 5 φορές
2 κελιά καλύπτονται από 4 φορές
24 κελιά καλύπτονται από 3 φορές
36 κελιά καλύπτονται από 2 φορές

Το συνολικό άθροισμα των αριθμών σε αυτά τα κελιά (με πολλαπλότητα) είναι $\displaystyle{ 2(1+\cdots + 64) + (1 + \cdots + 28) + (1+\cdots + 4) + (1+2) = 4579.}$ Άρα ένα από τα $3 \times 3$ τετράγωνα έχει άθροισμα μεγαλύτερο ή ίσο του $\displaystyle{ \lceil 4579/18\rceil = 255}$

#9

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Ἐρώτηση: Τί σημαίνει 3x3 ὑποπίνακας; Θά πρέπει νά εἶναι συνεχόμενες οἱ γραμμές καί οἱ στῆλες; Ἄν δέν ὑπάρχει τέτοιος περιορισμός, τότε εὔκολα ἀποδεικνύεται ὅτι ἀντί γιά ἄθροισμα τουλάχιστον 145, μποροῦμε να βροῦμε ὑποπίνακα μἐ ἄθροισμα τουλάχιστον 293!

Ας το δούμε και αυτό. Παίρνουμε τις τρεις στήλες με το μεγαλύτερο άθροισμα. Εφόσον έχουμε οκτώ στήλες με συνολικό άθροισμα $(1+\cdots +64) = 2080$ θα υπάρχουν τρεις στήλες με άθροισμα τουλάχιστον 3(2080)/8 = 780

.

Υποθέτοντας τώρα πως έχουμε αριθμούς γραμμένους μόνο σε αυτές τις στήλες (με άθροισμα τουλάχιστον 780

) και μηδενικά σε όλες τις άλλες θέσεις, παίρνουμε τις τρεις σειρές με το μεγαλύτερο άθροισμα. Θα είναι τουλάχιστον 3(780)/8 = 292.5

και άρα τουλάχσιτον 293

.

Ο $3 \times 3$ υποπίνακας που σχηματίζουν οι τρεις στήλες και τρεις σειρές που επιλέξαμε έχουν άθροισμα τουλάχιστον 293

.

Σκακιέρα!

Σκακιέρα!

Re: Σκακιέρα!

Re: Σκακιέρα!

Re: Σκακιέρα!

Re: Σκακιέρα!

Re: Σκακιέρα!

Re: Σκακιέρα!

Re: Σκακιέρα!

Re: Σκακιέρα!

Μέλη σε σύνδεση