Σταθερά και ανισότητα

#1

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους

τέτοιους ώστε $(n+1)(x^n+y^n+z^n)\geq n\sqrt{n}(xy+yz+zx),$ για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}.$

sokratis lyras · #2

Κάτι δεν μου αρέσει αλλα το ρισκάρω..
Για x=y=z=1

παίρνουμε εύκολα $n\le 2$ .Άρα n=1

ή

.Με αντικατάσταση έυκολα βλεπουμε πως η ανισότητα για n=1

δεν ισχύει για κάθε x,y,z

,ενώ για

ισχύει.
EDIT** Είχα ένα λάθος που το διόρθωσα αφού είδα τη λύση του Θάνου.!

#3

socrates έγραψε:Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους τέτοιους ώστε $(n+1)(x^n+y^n+z^n)\geq n\sqrt{n}(xy+yz+zx),$ για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}.$

Αν η δοθείσα ισχύει για κάθε $\displaystyle{x,y,z,}$ τότε για $\displaystyle{x=y=z=1}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{n+1\geq n\sqrt{n},}$ άρα $\displaystyle{1+\frac{1}{n}\geq \sqrt{n}\Rightarrow 2\geq \sqrt{n} \Rightarrow n<4.}$

Άρα $\displaystyle{n=1,2,3.}$

Για $\displaystyle{n=1,}$ η αρχική γράφεται $\displaystyle{2(x+y+z)\geq xy+yz+zx,}$ η οποία φανερά δεν ικανοποιείται για $\displaystyle{x=y=5,z=0.}$

Για $\displaystyle{n=2,}$ γράφεται ως $\displaystyle{3(x^2+y^2+z^2)\geq 2\sqrt{2}(xy+yz+zx).}$

Αυτή ισχύει. Επειδή $\displaystyle{3>2\sqrt{2}}$ είναι $\displaystyle{3(x^2+y^2+z^2)>2\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)\geq 2\sqrt{2}(xy+yz+zx).}$

Για $\displaystyle{n=3}$ γράφεται ως $\displaystyle{4(x^3+y^3+z^3)\geq 3\sqrt{3}(xy+yz+zx),}$ και δεν ικανοποιείται π.χ. για $\displaystyle{x=-2,y=1,z=-1.}$

Άρα τελικά $\displaystyle{n=2.}$

Σταθερά και ανισότητα

Σταθερά και ανισότητα

Re: Σταθερά και ανισότητα

Re: Σταθερά και ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση