Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Παραθέτω τα σημερινά θέματα. Καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά!
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑΤΑ ΘΑΛΗ2.pdf
- (513.72 KiB) Μεταφορτώθηκε 623 φορές
τελευταία επεξεργασία από Τσιαλας Νικολαος σε Σάβ Μάιος 15, 2021 12:53 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 204
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Μία λύση για το 1 της Β Λυκείου.
Χρησιμοποιώντας την έχουμε:
, το όταν .
, το όταν .
, το όταν .
Άρα .
Το ισχύει όταν η οποία είναι υποχρεωτικά η μοναδική λύση του συστήματος.
Χρησιμοποιώντας την έχουμε:
, το όταν .
, το όταν .
, το όταν .
Άρα .
Το ισχύει όταν η οποία είναι υποχρεωτικά η μοναδική λύση του συστήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 204
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Για το 1 της Α Λυκείου.
Θέτουμε και οπότε η δεδομένη γράφεται:
το οποίο ισχύει μόνο αν .
Άρα με και τελειώσαμε.
Θέτουμε και οπότε η δεδομένη γράφεται:
το οποίο ισχύει μόνο αν .
Άρα με και τελειώσαμε.
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Γ' Γυμνασίου- Πρόβλημα 1
Παρατηρούμε ότι: , όπου όλοι οι παράγοντες είναι πρώτοι αριθμοί.
Οι αριθμοί που γράφουμε στη σειρά τότε είναι:
1ος:
2ος:
3ος:
4ος:
5ος:
6ος:
7ος:
8ος:
9ος:
10ος:
Παρατηρούμε ότι: , όπου όλοι οι παράγοντες είναι πρώτοι αριθμοί.
Οι αριθμοί που γράφουμε στη σειρά τότε είναι:
1ος:
2ος:
3ος:
4ος:
5ος:
6ος:
7ος:
8ος:
9ος:
10ος:
τελευταία επεξεργασία από Joaakim σε Σάβ Μάιος 15, 2021 8:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
ΘΕΜΑ 2- Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Τα δύο μικρότερα αθροίσματα είναι και ,
ενώ τα δύο μεγαλύτερα αθροίσματα είναι και .
Το τρίτο μικρότερο άθροισμα δύο όρων είναι το ή το .
Αφαιρώντας τις δύο πρώτες σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε (*), ενώ από τις δύο τελευταίες παίρνουμε
Έτσι,
Άρα το τρίτο μικρότερο άθροισμα είναι το (**)
Από (*), (**) παίρνουμε και .
Εύκολα βρίσκουμε, λοιπόν, ότι
.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Τα δύο μικρότερα αθροίσματα είναι και ,
ενώ τα δύο μεγαλύτερα αθροίσματα είναι και .
Το τρίτο μικρότερο άθροισμα δύο όρων είναι το ή το .
Αφαιρώντας τις δύο πρώτες σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε (*), ενώ από τις δύο τελευταίες παίρνουμε
Έτσι,
Άρα το τρίτο μικρότερο άθροισμα είναι το (**)
Από (*), (**) παίρνουμε και .
Εύκολα βρίσκουμε, λοιπόν, ότι
.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
ΘΕΜΑ 2 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω ότι ο είναι ένας ακέραιος για τον οποίο υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε και ο είναι ακέραιος.
Tότε είναι ακέραιος αριθμός και η διαφορά
,
οπότε θα έχουμε για κάποιο μη μηδενικό ακέραιο .
Αφού ,
ο αποτελεί ακέραια λύση του πολυωνύμου
.
Με , παίρνουμε . Αφού ο είναι ακέραιος, o είναι άρτιος, και ο διαιρεί το , άρα .
Παρατηρούμε ότι , αν και μόνο αν . Αυτή η περίπτωση είναι δυνατή με , οπότε .
Επίσης, αν και μόνο αν . Αυτή η περίπτωση είναι δυνατή εάν , οπότε .
Συνεπώς, εάν ή , τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε και ο είναι ακέραιος.
Σημείωση: Για τον , και ισχύει . Για αυτή την τιμή του , ο δεν είναι ακέραιος.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Έστω ότι ο είναι ένας ακέραιος για τον οποίο υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε και ο είναι ακέραιος.
Tότε είναι ακέραιος αριθμός και η διαφορά
,
οπότε θα έχουμε για κάποιο μη μηδενικό ακέραιο .
Αφού ,
ο αποτελεί ακέραια λύση του πολυωνύμου
.
Με , παίρνουμε . Αφού ο είναι ακέραιος, o είναι άρτιος, και ο διαιρεί το , άρα .
Παρατηρούμε ότι , αν και μόνο αν . Αυτή η περίπτωση είναι δυνατή με , οπότε .
Επίσης, αν και μόνο αν . Αυτή η περίπτωση είναι δυνατή εάν , οπότε .
Συνεπώς, εάν ή , τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε και ο είναι ακέραιος.
Σημείωση: Για τον , και ισχύει . Για αυτή την τιμή του , ο δεν είναι ακέραιος.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Lymperis Karras
- Δημοσιεύσεις: 170
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Ίδια λύση έχω κι εγώ. Σωστό αποτέλεσμα!
Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
-Hilbert
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Kαλησπέρα για το πρόβλημα 3 της Α Λυκείου
Τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα Αρα
Τα κόκκινα τμήματα είναι ίσα Αρα
- Συνημμένα
-
- Ο Θαλής Α Λυκειίου Πρόβλημα 3.png (38.85 KiB) Προβλήθηκε 4462 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
-
- Δημοσιεύσεις: 204
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Πρόβλημα 2 - Γ' Λυκείου.
Είναι γνωστό ότι .
Άρα
Αν ο είναι άρτιος τότε ο είναι περιττός, άρα και είναι αδύνατον ο να είναι δύναμη του 2 αφού . Ομοίως, αν υποθέσουμε ότι ο είναι περιττός, τότε και είναι αδύνατον ο να είναι δύναμη του 2.
Είναι γνωστό ότι .
Άρα
Αν ο είναι άρτιος τότε ο είναι περιττός, άρα και είναι αδύνατον ο να είναι δύναμη του 2 αφού . Ομοίως, αν υποθέσουμε ότι ο είναι περιττός, τότε και είναι αδύνατον ο να είναι δύναμη του 2.
- Lymperis Karras
- Δημοσιεύσεις: 170
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Πρόβλημα 2 Γ' Γυμνασίου
α) Για να ισχύει το ζητούμενο θα πρέπει . Άρα το ορίζεται μονοσήμαντα
β) Μετά από αντικατάσταση του με το παίρνουμε . Παρατηρούμε πως ισχύει πάντα
(με πράξεις καταλήγει τετράγωνο μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός που ισχύει) άρα και το ελάχιστο λαμβάνεται για
α) Για να ισχύει το ζητούμενο θα πρέπει . Άρα το ορίζεται μονοσήμαντα
β) Μετά από αντικατάσταση του με το παίρνουμε . Παρατηρούμε πως ισχύει πάντα
(με πράξεις καταλήγει τετράγωνο μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός που ισχύει) άρα και το ελάχιστο λαμβάνεται για
Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
-Hilbert
- Lymperis Karras
- Δημοσιεύσεις: 170
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Πρόβλημα 3 Γ' Γυμνασίου
Έστω το σημείο τομής της με την . Λόγω ημικυκλίου το έιναι κέντρο του μικρού κύκλου.
Άρα και
Με ΠΘ όμως παίρνουμε ότι
άρα μετά από πράξεις (αντικαθιστώ το στην πρώτη) παίρνω
Για το εμβαδόν εργαζόμαστε ως εξής:
Φέρνουμε την κάθετη
Η συνέχεια είναι εύκολη, θα το ολοκληρώσω αύριο...
Έστω το σημείο τομής της με την . Λόγω ημικυκλίου το έιναι κέντρο του μικρού κύκλου.
Άρα και
Με ΠΘ όμως παίρνουμε ότι
άρα μετά από πράξεις (αντικαθιστώ το στην πρώτη) παίρνω
Για το εμβαδόν εργαζόμαστε ως εξής:
Φέρνουμε την κάθετη
Η συνέχεια είναι εύκολη, θα το ολοκληρώσω αύριο...
Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
-Hilbert
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Γ' Λυκείου- Πρόβλημα 1
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Περίπτωση 1:
Τότε:
.
Όμως , με το ίσον για , δεκτή.
Περίπτωση 2:
Τότε:
.
Όμως , με το ίσον για , δεκτή.
Τελικά: .
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Περίπτωση 1:
Τότε:
.
Όμως , με το ίσον για , δεκτή.
Περίπτωση 2:
Τότε:
.
Όμως , με το ίσον για , δεκτή.
Τελικά: .
τελευταία επεξεργασία από Joaakim σε Κυρ Μάιος 16, 2021 1:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
ΘΕΜΑ 3 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
(Σχεδιάζουμε το τρίγωνο και τη γωνία με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, οπότε παίρνουμε το να είναι σημείο της πλευράς )
Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε (βλ. Αλγεβρα Β Λυκείου, σελ. 92).
και άρα .
Έτσι, (**), οπότε
(**) Αλλιώς: Ο και ο συζυγής του είναι ρίζες της εξίσωσης , οπότε .
Έτσι, από το Πυθαγόρειο στο παίρνουμε
.
Συνεπώς, στο ορθογώνιο τρίγωνο , η υποτείνουσα έχει διπλάσιο μήκος της κάθετης πλευράς , οποτε .
Φιλικά,
Αχιλλέας
(Σχεδιάζουμε το τρίγωνο και τη γωνία με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, οπότε παίρνουμε το να είναι σημείο της πλευράς )
Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε (βλ. Αλγεβρα Β Λυκείου, σελ. 92).
και άρα .
Έτσι, (**), οπότε
(**) Αλλιώς: Ο και ο συζυγής του είναι ρίζες της εξίσωσης , οπότε .
Έτσι, από το Πυθαγόρειο στο παίρνουμε
.
Συνεπώς, στο ορθογώνιο τρίγωνο , η υποτείνουσα έχει διπλάσιο μήκος της κάθετης πλευράς , οποτε .
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Συνημμένα
-
- thales_2020b_B2.png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 4376 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Β,Γ Γυμνασίου Θέμα 1
Βρίσκουμε τον δέκατο μικρότερο διαιρέτη του αριθμού. Οι διαιρέτες του 4654650 είναι οι 1,2,3,5,6,7,10, 11,13,14.
Άρα ο 10ος μεγαλύτερος είναι ο 4654650:14=332475
https://www.wiskundeolympiade.nl/phocad ... ven_en.pdf (Θέμα Β1)
Β Γυμνασίου Θέμα 2
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 13#p144713 (Θέμα 4)
Β Γυμνασίου Θέμα 3
https://www.wiskundeolympiade.nl/files/ ... ven_en.pdf (Θέμα Β2)
Γ Γυμνασίου Θέμα 3
https://www.wiskundeolympiade.nl/files/ ... ven_en.pdf (Θέμα Β3)
Α Λυκείου Θέμα 1
viewtopic.php?f=58&t=32205 (Θέμα 2)
Α Λυκείου Θέμα 2
https://www.wiskundeolympiade.nl/files/ ... ven_en.pdf (Θέμα Β1)
Β Λυκείου Θέμα 2
Αφαιρώντας οπότε αντικαθιστώντας στην πρώτη οπότε δηλ. ή κτλ
Γ Λυκείου Θέμα 1
Είναι με ισότητα αν-ν
δηλαδή αν-ν ή
Γ Λυκείου Θέμα 2
Γενικότερο: search.php?keywords=43&t=12692&sf=msgonly
Βρίσκουμε τον δέκατο μικρότερο διαιρέτη του αριθμού. Οι διαιρέτες του 4654650 είναι οι 1,2,3,5,6,7,10, 11,13,14.
Άρα ο 10ος μεγαλύτερος είναι ο 4654650:14=332475
https://www.wiskundeolympiade.nl/phocad ... ven_en.pdf (Θέμα Β1)
Β Γυμνασίου Θέμα 2
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 13#p144713 (Θέμα 4)
Β Γυμνασίου Θέμα 3
https://www.wiskundeolympiade.nl/files/ ... ven_en.pdf (Θέμα Β2)
Γ Γυμνασίου Θέμα 3
https://www.wiskundeolympiade.nl/files/ ... ven_en.pdf (Θέμα Β3)
Α Λυκείου Θέμα 1
viewtopic.php?f=58&t=32205 (Θέμα 2)
Α Λυκείου Θέμα 2
https://www.wiskundeolympiade.nl/files/ ... ven_en.pdf (Θέμα Β1)
Β Λυκείου Θέμα 2
Αφαιρώντας οπότε αντικαθιστώντας στην πρώτη οπότε δηλ. ή κτλ
Γ Λυκείου Θέμα 1
Είναι με ισότητα αν-ν
δηλαδή αν-ν ή
Γ Λυκείου Θέμα 2
Γενικότερο: search.php?keywords=43&t=12692&sf=msgonly
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
ΘΕΜΑ 3 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
Έστω το σημείο τομής της με τον . Τότε , αφού το είναι ύψος, και άρα διάμεσος στο ισοσκελές τρίγωνο
Από την ομοιότητα των τριγώνων και έπεται ότι
Αφού , από την παραπάνω σχέση έπεται ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Έτσι,
Έστω το συμμετρικό του ως προς την διχοτόμο . Τότε το βρίσκεται πάνω στην και είναι
αφού στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε .
Αφού , το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Συνεπώς, , λόγω συμμετρίας, όπως θέλαμε.
Έστω το σημείο τομής της με τον . Τότε , αφού το είναι ύψος, και άρα διάμεσος στο ισοσκελές τρίγωνο
Από την ομοιότητα των τριγώνων και έπεται ότι
Αφού , από την παραπάνω σχέση έπεται ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια.
Έτσι,
Έστω το συμμετρικό του ως προς την διχοτόμο . Τότε το βρίσκεται πάνω στην και είναι
αφού στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε .
Αφού , το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Συνεπώς, , λόγω συμμετρίας, όπως θέλαμε.
- Συνημμένα
-
- thales_2020_Γ3b.png (21.22 KiB) Προβλήθηκε 4180 φορές
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
ΘΕΜΑ 3 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
(2ος τρόπος - με συνθετική γεωμετρία - Ο 1ος τρόπος με τριγωνομετρία είναι εδώ)
Έστω ότι είναι τα σημεία τομής της , της διχοτόμου της , και της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .
Έστω και .
Στο ορθογώνιο τρίγωνο , η διάμεσος είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, οπότε . Επιπλέον, αφού , έχουμε .
Αφού , έπεται ότι . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η διχοτόμος της είναι μεσοκάθετος του . Έτσι, .
Τα τρίγωνα και έχουν , και , οπότε είναι ίσα (ΠΓΠ).
Συνεπώς, . Αφού ίσες χορδές αντιστοιχούν σε ίσα τόξα, έπεται ότι
. Αλλά, . Συνεπώς,
, απ' όπου έπεται άμεσα ότι
(2ος τρόπος - με συνθετική γεωμετρία - Ο 1ος τρόπος με τριγωνομετρία είναι εδώ)
Έστω ότι είναι τα σημεία τομής της , της διχοτόμου της , και της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .
Έστω και .
Στο ορθογώνιο τρίγωνο , η διάμεσος είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας, οπότε . Επιπλέον, αφού , έχουμε .
Αφού , έπεται ότι . Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η διχοτόμος της είναι μεσοκάθετος του . Έτσι, .
Τα τρίγωνα και έχουν , και , οπότε είναι ίσα (ΠΓΠ).
Συνεπώς, . Αφού ίσες χορδές αντιστοιχούν σε ίσα τόξα, έπεται ότι
. Αλλά, . Συνεπώς,
, απ' όπου έπεται άμεσα ότι
- Συνημμένα
-
- thales_2020b_B2b.png (17.66 KiB) Προβλήθηκε 4119 φορές
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Ωραία λύση Αχιλλέα!
Έχω υπόψη μου άλλες δύο συνθετικές λύσεις. Θα δώσω hint για την πιο απρόσμενη (κατά την άποψή μου). Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή άσκηση viewtopic.php?f=20&t=16341&p=84868&hili ... %BF#p84868
για να καταλήξουμε στο συμπέρασμα!
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Καλησπέρα! Για το θέμα 3 της Β΄Λυκείου.
Με τα εργαλεία της Ευκλείδειας και χρήση του σχήματος Έστω και . Τότε ενώ .
Το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο δίνει
και στο έχουμε , άρα οπότε και τέλος .
Φιλικά, Γιώργος.
Με τα εργαλεία της Ευκλείδειας και χρήση του σχήματος Έστω και . Τότε ενώ .
Το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο δίνει
και στο έχουμε , άρα οπότε και τέλος .
Φιλικά, Γιώργος.
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
Μια λύση με την υπόδειξη του Σιλουανού.silouan έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 15, 2021 3:40 pmΩραία λύση Αχιλλέα!
Έχω υπόψη μου άλλες δύο συνθετικές λύσεις. Θα δώσω hint για την πιο απρόσμενη (κατά την άποψή μου). Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή άσκηση viewtopic.php?f=20&t=16341&p=84868&hili ... %BF#p84868
για να καταλήξουμε στο συμπέρασμα!
Θεωρούμε το τετράγωνο , όπου είναι το συμμετρικό του ως προς το , το οποίο έχει κέντρο το σημείο αφού . Το συμμετρικό του ως προς το ανήκει στην και αφού , είναι . Εύκολα βλέπουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα, και έτσι και
Από το πρόβλημα της υπόδειξης του Σιλουανού, το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, οπότε .
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Συνημμένα
-
- thales_2020c_B3b.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 3925 φορές
Re: Συμπληρωματικός Θαλής 2020-2021
ΘΕΜΑ 3 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Παρατηρούμε ότι η διάμεσος είναι διχοτόμος της και ύψος στο ισοσκελές τρίγωνο . Άρα το είναι το έγκεντρο του τριγώνου και ισαπέχει από τiς πλευρές της γωνίας . Έτσι, .
Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Τότε το είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. Συνεπώς η είναι παράλληλη στη .
Αφού , το είναι ισοσκελές τράπέζιο, οπότε
.
Παρατηρούμε ότι η διάμεσος είναι διχοτόμος της και ύψος στο ισοσκελές τρίγωνο . Άρα το είναι το έγκεντρο του τριγώνου και ισαπέχει από τiς πλευρές της γωνίας . Έτσι, .
Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Τότε το είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται. Συνεπώς η είναι παράλληλη στη .
Αφού , το είναι ισοσκελές τράπέζιο, οπότε
.
- Συνημμένα
-
- thales_2020_A3b.png (13.22 KiB) Προβλήθηκε 3881 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες