Εφαπτομένη διπλάσια της χορδής

KARKAR · #1

: Χορδή και διπλάσια εφαπτομένη.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου AB=2r

ενός κύκλου , φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα

. Για ποια θέση του

, είναι :

;

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 11, 2025 6:48 am
Χορδή και διπλάσια εφαπτομένη.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός κύκλου , φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Για ποια θέση του , είναι : ;

Εστω $TB=y,ST^{2}=SB.SA,4y^{2}=x(x+2r),(1)$ ,

Για τις γωνίες από χορδή και εφαπτομένη και ισότητα γωνιών σε ορθογώνιο τρίγωνο $LB=\dfrac{y^{2}}{2r},BS=X,AL=2r-LB=2r-\dfrac{y^{2}}{2r},AS=2r+x, \dfrac{LB}{BS}=\dfrac{AL}{AS} \Rightarrow y^{2}(x+2r)=4r^{2}-y^{2},(2), (1) ,(2)\Rightarrow x^{2}+3rx-6r^{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{-3r+r\sqrt{33}}{2}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 11, 2025 6:48 am
Χορδή και διπλάσια εφαπτομένη.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός κύκλου , φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Για ποια θέση του , είναι : ;

.

: Χορδή διπλάσια της εφαπτομένης_Κατασκευή.png (14.41 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

.
Η τετράδα , $\left( {A,B\backslash C,S} \right)$ είναι αρμονική άρα : $\dfrac{m}{x} = \dfrac{{2r - m}}{{2r + x}}\,\,\,\left( 1 \right)$

Επειδή , $4{k^2} = x\left( {x + 2r} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{k^2} = 2rm$ προκύπτει: $m = \dfrac{{x\left( {x + 2r} \right)}}{{8r}}\,\,\,\left( 2 \right)$ . Έτσι η $\left( 1 \right)$ δίδει , $\boxed{x = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {33} }}{2}r}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 11, 2025 6:48 am
Χορδή και διπλάσια εφαπτομένη.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός κύκλου , φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Για ποια θέση του , είναι : ;

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι 4y^2=x(x+2r).

: Χορδή και διπλάσια εφαπτομένη.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Με $\rm Stewart$ στο TOS,

έχω $\displaystyle 4{y^2}r + {r^2}x = {y^2}(r + x) + rx(r + x)$ και με αντικατάσταση του

καταλήγω στην εξίσωση x^2+3rx-6r^2=0,

απ' όπου $\boxed{x = \frac{r}{2}\left( { - 3 + \sqrt {33} } \right)}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 11, 2025 6:48 am
Χορδή και διπλάσια εφαπτομένη.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός κύκλου , φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Για ποια θέση του , είναι : ;

.

: διπλάσια.png (20.89 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

.

Είναι $TB= 2a\sin \theta$ και $ST= a \tan 2\theta$ , οπότε η ST=2TB

γράφεται $a \tan 2\theta = 4a\sin \theta$ . Ισοδύναμα $\dfrac { \sin 2\theta} {\cos 2 \theta} = 4\sin \theta$ , ή αλλιώς $\dfrac { 2\cos \theta} {2 \cos ^{2} \theta -1} = 4$ . Λύνοντας την δευτεροβάθμια είναι

$\boxed {\cos \theta = \dfrac {1}{8} \left (1+\sqrt {33}\right )}$ και λοιπά.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 11, 2025 6:48 am
Χορδή και διπλάσια εφαπτομένη.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός κύκλου , φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Για ποια θέση του , είναι : ;

Λόγω ισότητας των μπλε γωνιών ,θα είναι

$\dfrac{AB}{BS}= \dfrac{(ATB)}{(TBS)}= \dfrac{AB.AT}{TB.TS} \Rightarrow \dfrac{2r}{x}= \dfrac{2r \sqrt{4r^2-y^2} }{2y^2} \Rightarrow 4y^2=2x \sqrt{4r^2-y^2 } (1)$

Επιπλέον ισχύει 4y^2=x(x+2r) (2)

και με αντικατάσταση στην (1)

καταλήγουμε στην

εξίσωση x^2+3rx-6r^2=0

με δεκτή λύση $x= \dfrac{ \sqrt{33} -3}{2}r$

: χορδή διπλάσια της εφαπτομένης.png (20.29 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές

Εφαπτομένη διπλάσια της χορδής

Εφαπτομένη διπλάσια της χορδής

Re: Χορδή διπλάσια της εφαπτομένης

Re: Χορδή διπλάσια της εφαπτομένης

Re: Χορδή διπλάσια της εφαπτομένης

Re: Χορδή διπλάσια της εφαπτομένης

Re: Εφαπτομένη διπλάσια της χορδής

Μέλη σε σύνδεση