Γεωμετρικές διαφορές

KARKAR · #1

: Γεωμετρικές διαφορές.png (8 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι οξυγώνιο με AB < AC

. Πάνω στο ύψος

θεωρούμε σημείο

.

Να συγκριθούν οι διαφορές : AC-AB

και :

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 04, 2025 8:05 pm
Το τρίγωνο είναι οξυγώνιο με . Πάνω στο ύψος θεωρούμε σημείο .

Να συγκριθούν οι διαφορές : και : .

: geom diaf.png (16.4 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

.
Αλγεβρικά:

Με c=DC>BD=b

και

μεταβλητό, για κάθε x>0

, ισοδύναμα για κάθε μήκος

, θέτουμε

$f(x)=f(DS)= SC-SB= \sqrt {c^2+x^2}-\sqrt {b^2+x^2}= \dfrac { (\sqrt {c^2+x^2}-\sqrt {b^2+x^2})( \sqrt {c^2+x^2}+\sqrt {b^2+x^2}}{\sqrt {c^2+x^2}+\sqrt {b^2+x^2}}}=$

$=\dfrac { c^2-b^2}{\sqrt {c^2+x^2}+\sqrt {b^2+x^2}}$

Επειδή ο αριθμητής είναι θετικός και η παράσταση του παραονομαστή είναι αύξουσα συνάρτηση ως άθροισμα δύο αυξουσών, σημαίνει ότι το κλάσμα είναι φθίνουσα συνάρτηση του

.

Τώρα, αφού DS < DA

σημαίνει ότι f(DA) < f(DS)

. Άρα $\boxed {AC-AB < SC-SB}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 04, 2025 8:05 pm
Γεωμετρικές διαφορές.pngΤο τρίγωνο είναι οξυγώνιο με . Πάνω στο ύψος θεωρούμε σημείο .

Να συγκριθούν οι διαφορές : και : .

: geom diaf 2.png (29.04 KiB) Προβλήθηκε 455 φορές

,
Γεωμετρικά:

Παίρνουμε το συμμετρικό

του

ως προς το

. Έχουμε τότε

AC+SB=AC+SE<(AT+TC)+(ST+TE) = (AT+TE)+(TC+ST)=

.

Από την πρώτη και την τελευταία έπεται $\boxed {AC-AB < SC-SB}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 04, 2025 8:05 pm
Γεωμετρικές διαφορές.pngΤο τρίγωνο είναι οξυγώνιο με . Πάνω στο ύψος θεωρούμε σημείο .

Να συγκριθούν οι διαφορές : και : .

και

και με αφαίρεση παίρνουμε

$CD^2-BD^2=AC^2-AB^2>0 \Rightarrow CD>BD$

άρα το

βρίσκεται αριστερότερα του μέσου

της

Η μεσοκάθετη λοιπόν της

τέμνει την

στο εσωτερικό της σημείο

και $SE+EB>SB\Rightarrow SC>SB$

Με δεύτερο θ.διαμέσου στα τρίγωνα $ABC,SBC \Rightarrow AC^2-AB^2=SC^2-SB^2(=2aDM)$ .Άρα

$(AC-AB)(AC+AB)=(SC-SB)(SC+SB) \Rightarrow$

$\dfrac{AC-AB}{SC-SB}= \dfrac{SC+SB}{AC+AB}<1 \Rightarrow SC-SB> AC-AB$

: Γεωμετρικές διαφορές.png (33.34 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 04, 2025 8:05 pm
Γεωμετρικές διαφορές.pngΤο τρίγωνο είναι οξυγώνιο με . Πάνω στο ύψος θεωρούμε σημείο .

Να συγκριθούν οι διαφορές : και : .

Στο ίδιο πνεύμα πιο σύντομα από την προηγούμενη ανάρτηση

Προφανώς ισχύει AC>CS ,AB>SB

.Έστω τώρα

μέσον της

Με δεύτερο θ.διαμέσου στα τρίγωνα $ASC,ASB \Rightarrow AC^2-CS^2=AB^2-SB^2(=2AS.DM)$

Άρα (AC-AB)(AC+AB)=(SC-SB)(SC+SB)

$\Rightarrow$

$\dfrac{AC-AB}{SC-SB}= \dfrac{SC+SB}{AC+AB}<1 \Rightarrow SC-SB> AC-AB$

: Γεωμετρικές διαφορές 2.png (19.38 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 04, 2025 8:05 pm
Γεωμετρικές διαφορές.pngΤο τρίγωνο είναι οξυγώνιο με . Πάνω στο ύψος θεωρούμε σημείο .

Να συγκριθούν οι διαφορές : και : .

Τα τρίγωνα ABT,SBP

είναι ισοσκελή γιατί AN,SI

είναι διχοτόμοι και $AM\perp BT,BP\perp SI$

Συνεπώς $TC=AC-AB,PC=SC-SB,\hat{ABT}=\hat{ATB}=90-\dfrac{A}{2}\prec 90,\hat{BTC}> 90,\hat{TPC}< 90,$ AC-AB< SC-SB$

Γεωμετρικές διαφορές

Γεωμετρικές διαφορές

Re: Γεωμετρικές διαφορές

Re: Γεωμετρικές διαφορές

Re: Γεωμετρικές διαφορές

Re: Γεωμετρικές διαφορές

Re: Γεωμετρικές διαφορές

Μέλη σε σύνδεση