Ζητείται ισόπλευρο

#1

Σε τραπέζιο ABCD(AB//CD),

είναι

και οι πλευρές AD, DC, CB

έχουν ακέραια μήκη και είναι

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Αν η διαγώνιος

είναι κάθετη στις βάσεις, να βρείτε την πλευρά ισοπλεύρου

τριγώνου που έχει την ίδια περίμετρο με το τραπέζιο.

KARKAR · #2

Πρόκειται για τρίγωνο πλευράς

.

Με

, έχουμε την εξίσωση : (x-a)^2-9=(x+a)^2-x^2

,

η οποία έχει την δεκτή λύση : $x=2a+\sqrt{4a^2+9}$ ,

θετικός ακέραιος .

Το υπόρριζο είναι τέλειο τετράγωνο ( μόνο ) για : a=2

, οπότε : x=9

...

#3

Να εξηγήσω πώς προέκυψε το a=2

στη μινιμαλιστική-πλην σωστή-λύση του Θανάση.

Από την αρχική εξίσωση(πριν λυθεί) προκύπτει ότι x(x-4a)=9

κι επειδή ο

είναι θετικός ακέραιος, θα είναι

$\displaystyle \bullet$ x=9, x-4a=1,

απ' όπου $\boxed{x=9.a=2}$ ή

$\displaystyle \bullet$ x=1, x-4a=9,

απ' όπου

που απορρίπτεται γιατί προκύπτει αρνητική η πλευρά BC.

$\displaystyle \bullet$ x= x-4a=3,

όπου

δηλαδή η πρόοδος είναι σταθερή, οπότε έχουμε τετράγωνο και όχι τραπέζιο.

Άρα, η μόνη δεκτή περίπτωση είναι η πρώτη.

KARKAR · #4

Εξήγηση γιατί το : 4a^2+9

είναι τέλειο τετράγωνο μόνο για : a=2

, (

θετικός ακέραιος ) .

Είναι : $4a^2+9=k^2 \Leftrightarrow 9=(k-2a)(k+2a)$ , άρα k-2a=1 , k+2a=9

,

επομένως : a=2

( και :

) .