Η γοητεία των υπολογισμών

KARKAR · #1

: Η γοητεία των υπολογισμών.png (20.23 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι : $b=10 , \hat{B}=60^\circ$ . Φέρουμε τα ύψη : AD , CF

. Υπολογίστε το τμήμα

.

Σημείωση : Αν χρησιμοποιήσετε κάποιο "άγνωστο" θεώρημα , πρέπει να γράψετε και την απόδειξή του

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 14, 2024 9:31 am
Η γοητεία των υπολογισμών.pngΣτο τρίγωνο , είναι : $b=10 , \hat{B}=60^\circ$ . Φέρουμε τα ύψη : . Υπολογίστε το τμήμα .

Σημείωση : Αν χρησιμοποιήσετε κάποιο "άγνωστο" θεώρημα , πρέπει να γράψετε και την απόδειξή του

Με νόμο συνημιτόνου βρίσκω $\boxed{a^2+c^2-ac=100}$ (1)

: Γοητεία υπολογισμών.png (18.75 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

Είναι ακόμα $\displaystyle BF = \frac{a}{2},FC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},BD = \frac{c}{2},AD = \frac{{c\sqrt 3 }}{2}$ και με θ. Πτολεμαίου στο AFDC,

$\displaystyle 10x + \left( {c - \frac{a}{2}} \right)\left( {a - \frac{c}{2}} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{c\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow 10x = \frac{{{a^2} + {c^2} - ac}}{2}\mathop = \limits^{(1)} 50 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=5}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 14, 2024 9:31 am
Η γοητεία των υπολογισμών.pngΣτο τρίγωνο , είναι : $b=10 , \hat{B}=60^\circ$ . Φέρουμε τα ύψη : . Υπολογίστε το τμήμα .

Σημείωση : Αν χρησιμοποιήσετε κάποιο "άγνωστο" θεώρημα , πρέπει να γράψετε και την απόδειξή του

Αλλιώς. Έστω

η προβολή του

στην

: Γοητεία υπολογισμών.β.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές

$\displaystyle FE \ = \frac{{FC}}{2}$ και από την ομοιότητα των AFC, D EF,

$\boxed{x = \frac{b}{2} = 5}$

Παρατηρήσεις: 1) Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν $\widehat B=120^\circ.$

2) Γενικότερα $\displaystyle x = b|\cos B|$ (Μήπως αυτό είναι το "άγνωστο" θεώρημα που υπονοεί ο Θανάσης; )
Η απόδειξη προκύπτει εύκολα, από τη δεύτερη ανάρτησή μου.

KARKAR · #4

Ακριβώς , Γιώργο ! Σίγουρα οι επισκέπτες του θέματος , θα ήθελαν την απόδειξη ...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 14, 2024 9:31 am
Η γοητεία των υπολογισμών.pngΣτο τρίγωνο , είναι : $b=10 , \hat{B}=60^\circ$ . Φέρουμε τα ύψη : . Υπολογίστε το τμήμα .

Σημείωση : Αν χρησιμοποιήσετε κάποιο "άγνωστο" θεώρημα , πρέπει να γράψετε και την απόδειξή του

Με

μέσον της

είναι

και $\angle DMF=60^0$ (σχέση επίκεντρης εγγεγραμμένης) ,άρα x=5

: η γοητεία των μή υπολογισμών.png (41.46 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 14, 2024 11:13 am
Ακριβώς , Γιώργο ! Σίγουρα οι επισκέπτες του θέματος , θα ήθελαν την απόδειξη ...

Από τα όμοια τρίγωνα ACF, D EF,

είναι:

: Γοητεία υπολογισμών.γ.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

$\displaystyle \frac{x}{b} = \frac{{FE}}{{FC}} = \sin \theta \Leftrightarrow x = b\sin \theta = b\cos B$

Αν η $\widehat B$ είναι αμβλεία, τότε $\displaystyle \cos B < 0,$ άρα σε κάθε περίπτωση $\boxed{x = b|\cos B|}$

Η γοητεία των υπολογισμών

Η γοητεία των υπολογισμών

Re: Η γοητεία των υπολογισμών

Re: Η γοητεία των υπολογισμών

Re: Η γοητεία των υπολογισμών

Re: Η γοητεία των υπολογισμών

Re: Η γοητεία των υπολογισμών

Μέλη σε σύνδεση