Συνάρτηση Μέσης Τιμής

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και έστω $\Delta=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x<y\}$
Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση ${\color{blue}m}\colon \Delta\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε $a,b\in\mathbb{R}$
με a<b

και $\xi={\color{blue}m}(a,b)$ να ισχύουν:
#1. $a<\xi<b$
#2. $f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Σημείωση
Αν a<b

από το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την

στο

γνωρίζουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα $\xi\in(a,b)$ ώστε $f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Η $\color{blue} m$ (αν υπάρχει) αντιστοιχεί στο ζεύγος πραγματικών αριθμών (a,b)

με

ένα από αυτά τα $\xi$

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2024 12:53 pm
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και έστω $\Delta=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x<y\}$
Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση ${\color{blue}m}\colon \Delta\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε $a,b\in\mathbb{R}$
με και $\xi={\color{blue}m}(a,b)$ να ισχύουν:
#1. $a<\xi<b$
#2. $f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Σημείωση
Αν από το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την στο γνωρίζουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα $\xi\in(a,b)$ ώστε $f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Η $\color{blue} m$ (αν υπάρχει) αντιστοιχεί στο ζεύγος πραγματικών αριθμών με ένα από αυτά τα $\xi$

Αν καταλαβαίνω σωστά το νόημα της ερώτησης είναι ότι μπαίνουμε σε βαθειά νερά, και συγκεκριμένα κατά πόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Αξίωμα της Επιλογής (Axiom of Choice, βλέπε εδώ). Αν το χρησιμοποιήσουμε, η απάντηση στο ερώτημα είναι καταφατική αφού τότε μπορούμε να επιλέξουμε το m(a,b)

ως ένα από τα $\xi$ που μας δίνει το ΘΜΤ.

Αν πάλι (όπως έχουμε δικαίωμα να κάνουμε) δεν δεχθούμε το Αξίωμα Επιλογής ή, ακόμα καλύτερα, αν δεν δεχθούμε την ασθενή του μορφή, το Αξίωμα της Αριθμήσιμης Επιλογής (βλέπε εδώ) τότε εξ ορισμού δεν υπάρχει η

(αφού το $\Delta$ παραπάνω έχει πληθάριθμο μεγαλύτερο από το $\aleph _0$ )

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 20, 2024 12:24 am

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2024 12:53 pm
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και έστω $\Delta=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x<y\}$
Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση ${\color{blue}m}\colon \Delta\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε $a,b\in\mathbb{R}$
με και $\xi={\color{blue}m}(a,b)$ να ισχύουν:
#1. $a<\xi<b$
#2. $f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Σημείωση
Αν από το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την στο γνωρίζουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον
ένα $\xi\in(a,b)$ ώστε $f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Η $\color{blue} m$ (αν υπάρχει) αντιστοιχεί στο ζεύγος πραγματικών αριθμών με ένα από αυτά τα $\xi$
Αν καταλαβαίνω σωστά το νόημα της ερώτησης είναι ότι μπαίνουμε σε βαθειά νερά, και συγκεκριμένα κατά πόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Αξίωμα της Επιλογής (Axiom of Choice, βλέπε εδώ). Αν το χρησιμοποιήσουμε, η απάντηση στο ερώτημα είναι καταφατική αφού τότε μπορούμε να επιλέξουμε το ως ένα από τα $\xi$ που μας δίνει το ΘΜΤ.

Αν πάλι (όπως έχουμε δικαίωμα να κάνουμε) δεν δεχθούμε το Αξίωμα Επιλογής ή, ακόμα καλύτερα, αν δεν δεχθούμε την ασθενή του μορφή, το Αξίωμα της Αριθμήσιμης Επιλογής (βλέπε εδώ) τότε εξ ορισμού δεν υπάρχει η (αφού το $\Delta$ παραπάνω έχει πληθάριθμο μεγαλύτερο από το $\aleph _0$ )

Συνολοθεωρητικά η ζητούμενη $\color{blue}m$ είναι συνάρτηση επιλογής της ακόλουθης
οικογένειας μη κενών (λόγω ΘΜΤ) συνόλων $\mathcal{F}=(M_P)_{P\in\Delta}$ με
$M_{(a,b)}$ $=\{\xi\in(a,b)|f^\prime(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\}$
(το σύμβολο (a,b)

στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιείται με δυο σημασίες, αντίστοιχα σημείο και διάστημα)

Πράγματι, η κεντρική ιδέα του προβλήματος αφορά τη (μη) χρήση του αξιώματος επιλογής!
Χωρίς αυτό να δηλώνεται ρητά, υπονοείται ότι πρέπει να αποφύγουμε την επίκληση του
γιατί κάτι τέτοιο καθιστά το ζήτημα της ύπαρξης της $\color{blue}m$ τετριμμένο.

Χωρίς το αξίωμα, a priori, υπάρχουν δυο σενάρια-ενδεχόμενα:

$\color{magenta}\bullet$ ΤΟ ΑΠΛΟ
η ύπαρξη της $\color{blue}m$ είναι αποδείξιμη (εντός της θεωρίας συνόλων ZF, δηλαδή χωρίς το αξίωμα επιλογής)
οπότε καλούμαστε να βρούμε αυτήν την απόδειξη. Στην πράξη αυτό σημαίνει
να ορίσουμε/κατασκευάσουμε μια συγκεκριμένη $\color{blue}m$ που θα έχει τη ζητούμενη ιδιότητα
βασιζόμενοι στις ιδιότητες της

και σε αυτές των πραγματικών αριθμών οι οποίες θα τυγχάνει στη
συγκεκριμένη περίπτωση "να μπορούν να κάνουν τη δουλειά" του (μη διαθεσίμου) αξιώματος επιλογής.
Για παράδειγμα αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η $f^\prime$ είναι γνησίως μονότονη (άρα αντιστρέψιμη)
τότε είναι απλά τα πράγματα, η (μοναδική)

είναι η $m(a,b)={f^\prime}^{-1}(\frac{f(b)-f(a)}{b-a})$

$\color{magenta}\bullet$ ΤΟ ΠΕΡΙΠΛΟΚΟ
η ύπαρξη της $\color{blue}m$ είναι μη αποδείξιμη (στα πλαίσια της ZF)
οπότε καλούμαστε να δώσουμε μια απόδειξη της μη αποδειξιμότητας!

Σημείωση
Το περίπλοκο σενάριο ίσχυσε για την πρόταση "υπάρχει μη μετρήσιμο σύνολο πραγματικών αριθμών"
η οποία όπως είναι γνωστό είναι αποδείξιμη με το αξίωμα επιλογής, αλλά μη αποδείξιμη χωρίς αυτό
(όπως απέδειξε ο Solovay υποθέτοντας όμως ότι η ύπαρξη απροσίτων πληθαρίθμων είναι συνεπής
με τη θεωρία ZFC https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model )

Spoiler alert: Iσχύει το απλό σενάριο!

Σε αυτό το σημείο θα ενημερώσουμε το ζητούμενο του νήματος το οποίο πλέον θα είναι:
"να κατασκευαστεί ένα παράδειγμα της $\color{blue}m$ χωρίς το αξίωμα επιλογής"
Με βάση την επισήμανση του κυρίου Λάμπρου για τον πληθάριθμο του $\Delta$ ,
μια λύση με το αξίωμα αριθμήσιμης επιλογής θα είχε επίσης ενδιαφέρον, γιατί θα απαιτούσε κάποιο
κόλπο για την αναγωγή μιας επιλογής από υπεραριθμήσιμη οικογένεια σε επιλογές από αριθμήσιμες οικογένειες

Σημείωση διδακτικού ενδιαφέροντος
Σε τάξη τρίτης Λυκείου δόθηκε προς επίλυση η ακόλουθη άσκηση:

"Δίνεται $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με την ιδιότητα $|f(x)-f(y)|\le(x-y)^2$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ ,
να αποδείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη και να υπολογίσετε την παράγωγό της"

Ακολουθεί ένα απόσπασμα από την απόπειρα επίλυσης της από μια μαθήτρια:

"......................................................
Έστω ότι η

είναι παραγωγίσιμη,
θα υπολογίσω την παράγωγο σε κάποιο $x_o\in\mathbb{R}$
Για $x\ne x_o$ έχουμε $|\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}|\le|x-x_o|$

Από το ΘΜΤ $\color{red}f^\prime(\xi(x))=\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$

οπότε από το κριτήριο παρεμβολής
$\lim\limits_{x\to x_o}f^\prime(\xi(x))=0$ και $\lim\limits_{x\to x_o}\xi(x)=x_o$
......................................................"

Δεν μας ενδιαφέρει αν η προσέγγιση αυτή οδηγεί σε λύση.
Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι ότι θεωρώντας τη συνάρτηση $\xi(x)$ (στην ερυθρώς σεσημασμένη γραμμή)
η μαθήτρια εφάρμοσε (χωρίς να το ξέρει) το αξίωμα επιλογής!
Όταν ρωτήθηκε: "πως ξέρουμε ότι υπάρχει η $\xi(x)$ ?"
Απάντησε: "Μα είναι προφανές. Να... για κάθε

θεωρούμε ένα από τα $\xi$ του ΘΜΤ... Λογικό δεν είναι να υπάρχει? "

Υπήρχε τίποτε μεμπτό στον τρόπο σκέψης της? Όχι.

Να μην ξεχνάμε άλλωστε πως για το γεγονός ότι
"η ύπαρξη συναρτήσεων επιλογής δεν είναι λογική αναγκαιότητα"
ο P. Cohen πήρε μετάλλιο Fields.

Συνάρτηση Μέσης Τιμής

Συνάρτηση Μέσης Τιμής

Re: Συνάρτηση Μέσης Τιμής

Re: Συνάρτηση Μέσης Τιμής

Μέλη σε σύνδεση