Ειδικό παραλληλόγραμμο

KARKAR · #1

: Ειδικό παραλληλόγραμμο.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την

στο σημείο

,

ενώ η εξωτερική διχοτόμος της $\hat{C}$ τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

.

Ποια ιδιότητα πρέπει να έχει το παραλληλόγραμμο , ώστε να είναι : $ST \perp CD$ ;

Θεωρήστε την περίπτωση που : AB=2CD

. ( Εν γένει είναι AB >BC)

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 01, 2023 7:49 am
Ειδικό παραλληλόγραμμο.pngΣτο παραλληλόγραμμο η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο σημείο ,
ενώ η εξωτερική διχοτόμος της $\hat{C}$ τέμνει την προέκταση της στο σημείο .Ποια ιδιότητα πρέπει να έχει το παραλληλόγραμμο , ώστε να είναι : $ST \perp CD$ ;
Θεωρήστε την περίπτωση που : . ( Εν γένει είναι

$\bullet$ Έστω $M\equiv AT\cap SC,N\equiv AB\cap SC$ . Τότε είναι: $\angle CTM\overset{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu }{\mathop{=}}\,\angle DTA\overset{DT\parallel AN}{\mathop{=}}\,\angle TAN\overset{AT\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma }{\mathop{=}}\,\angle ADT=\dfrac{\angle DAB}{2}:\left( 1 \right)$ , οπότε και $DT=DA=BC:\left( 2 \right)$ και $\angle TCM\equiv \angle DCS\overset{CS\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma \,\,\tau \eta \varsigma \,\,\angle DCx}{\mathop{=}}\,\dfrac{\angle DCx}{2}\overset{DC\parallel AB}{\mathop{=}}\,\dfrac{\angle ABC}{2}:\left( 3 \right)$

: Ειδικό παραλληλόγραμμο.png (30.24 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

$\bullet$ Από $\left( 1 \right)+\left( 3 \right)\Rightarrow \angle CTM+\angle TCM=\dfrac{\angle DAB+\angle ABC}{2}$ $\overset{AD\parallel BC}{\mathop{=}}\,\dfrac{{{180}^{0}}}{2}={{90}^{0}}\Rightarrow \angle TMC\equiv \angle AMN={{90}^{0}}$
$\Rightarrow AM\bot SN\overset{ST\bot DC\overset{DC\parallel AN}{\mathop{\Rightarrow }}\,ST\bot AN}{\mathop{\Rightarrow }}\,T$ το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle SAN\Rightarrow NT\bot SA:\left( 4 \right)$

$\bullet$ Με

ύψος και διχοτόμος της γωνίας $\angle NAS$ προκύπτει ότι το τρίγωνο $\vartriangle NAS$ είναι ισοσκελές $\left( AS=AN \right)\overset{BC\parallel AS}{\mathop{\Rightarrow }}\,BN=BC:\left( 5 \right)$

$\bullet$ Τότε $BN=BC\overset{ABCD\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o}{\mathop{=}}\,AD\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{=}}\,DT\overset{DT\parallel BN}{\mathop{\Rightarrow }}\,BNTD$ παραλληλόγραμμο , άρα $BD\parallel TN\overset{\left( 4 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,BD\bot AS\equiv AD$ και άρα στο εν λόγω παραλληλόγραμμο η μια διαγώνιός του (εδώ η

) είναι κάθετη στις δύο απέναντι πλευρές του (εδώ $BN\bot AD,BN\bot BC$ ) και το ζητούμενο παραλληλόγραμμο έχει κατασκευαστεί .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 01, 2023 7:49 am
Ειδικό παραλληλόγραμμο.pngΣτο παραλληλόγραμμο η διχοτόμος της $\hat{A}$ τέμνει την στο σημείο ,

ενώ η εξωτερική διχοτόμος της $\hat{C}$ τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Ποια ιδιότητα πρέπει να έχει το παραλληλόγραμμο , ώστε να είναι : $ST \perp CD$ ;

Θεωρήστε την περίπτωση που : . ( Εν γένει είναι

: Ειδικό παραλληλόγραμμο.Κ.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Έστω

Από τις διχοτόμους και τις παραλληλίες εύκολα προκύπτει ότι

DT=b, DS=a.

Τα τρίγωνα λοιπόν DAB, TDS

είναι ίσα, άρα $\displaystyle A\widehat DB = S\widehat TD = 90^\circ$ που είναι

και η ζητούμενη ιδιότητα.

Ειδικό παραλληλόγραμμο

Ειδικό παραλληλόγραμμο

Re: Ειδικό παραλληλόγραμμο

Re: Ειδικό παραλληλόγραμμο

Μέλη σε σύνδεση