Λόγος σε ημιτετράγωνο

KARKAR · #1

: Λόγος σε ημιτετράγωνο.png (10.08 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC

, γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου

- το οποίο τέμνει την

-

φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα

και ονομάσαμε

την τομή της

με το

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{ST}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 05, 2023 12:17 pm
Λόγος σε ημιτετράγωνο.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου - το οποίο τέμνει την -

φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα και ονομάσαμε την τομή της με το . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{ST}$ .

Επειδή $CE = 2EA \Leftrightarrow 4k = 2 \cdot 2k$ η τετράδα $\left( {A,G\backslash E,C} \right)$ είναι αρμονική . Το ίδιο ισχύει επομένως και για την τετράδα $\left( {B,Z\backslash S,C} \right)$ .

: Λόγος σε ημιτετράγωνο_1.png (26.35 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Στο $\vartriangle AZS$ με διατέμνουσα $\overline {NHC}$ έχω : $\dfrac{{AH}}{{HZ}} \cdot \dfrac{{ZC}}{{CS}} \cdot \dfrac{{SN}}{{NA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{{SN}}{{NA}} = 1 \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{{SN}}{{NA}} = \dfrac{2}{3}}$ .

Κι αφού AN = NT

, έχω: $\boxed{\dfrac{{AS}}{{ST}} = 5}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 05, 2023 12:17 pm
Λόγος σε ημιτετράγωνο.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου - το οποίο τέμνει την -

φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα και ονομάσαμε την τομή της με το . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{ST}$ .

Εστω ότι

Στο τρίγωνο

$OAC,OA^{2}=OI.OC\Rightarrow OI=\dfrac{R}{2\sqrt{5}}, AC^{2} =IC.OC\Rightarrow IC=\dfrac{2R}{\sqrt{5}},AI=\dfrac{R\sqrt{5}}{5}, AI=IT=\dfrac{x+y}{2}\Rightarrow x+y=\dfrac{2R\sqrt{5}}{5},$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

$ABT,BT^{2}=\dfrac{R^{2}}{5},IS=\dfrac{x-y}{2}, BT//IC\Rightarrow \dfrac{BT}{IC}=\dfrac{y}{SI}\Rightarrow 5y=x\Leftrightarrow \dfrac{AS}{ST}=5$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 05, 2023 12:17 pm
Λόγος σε ημιτετράγωνο.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , γράψαμε το ημικύκλιο διαμέτρου - το οποίο τέμνει την -

φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα και ονομάσαμε την τομή της με το . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{ST}$ .

Σχηματίζουμε το τετράγωνο ABDC

.Επειδή

,θεωρώντας τον κύκλο (C,a)

θα είναι,

,συνεπώς $BM=MD=\dfrac{a}{2}$ και

$\dfrac{MS}{SA} = \dfrac{MB}{AC}= \dfrac{1}{2}$

Ακόμη, $\dfrac{MT}{TA} = (\dfrac{BM}{BA} )^2= \dfrac{1}{4} \Rightarrow AT=4MT$

Άρα $AS+x=4(MS-x) \Rightarrow AS+x=4( \dfrac{AS}{2} -x) \Rightarrow \dfrac{x}{AS}= \dfrac{1}{5}$

: Λόγος σε ημιτετράγωνο.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Λόγος σε ημιτετράγωνο

Λόγος σε ημιτετράγωνο

Re: Λόγος σε ημιτετράγωνο

Re: Λόγος σε ημιτετράγωνο

Re: Λόγος σε ημιτετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση