Ιδιοκατασκευή

Batapan · #1

Μια άσκηση μου( ελπίζω να είναι σωστή η επιλογή φακέλου )

Να αποδειχθεί ότι η παράσταση 2^x+2023

δεν είναι ποτέ τέλειος κύβος ακέραιου, όπου

ένας θετικός ακέραιος

ohgreg · #2

Αρκεί να δείξουμε πως η εξίσωση:

2^x+2023=n^3

είναι αδύνατη για x, n

θετικούς ακέραιους.

Παρατηρούμε πως τα δυνατά υπόλοιπα κύβων $(mod\:7)$ είναι $\pm 1, 0$ .
(Από το little Fermat theorem ισχύει:
$n^7\equiv n (mod\:7) \Leftrightarrow 7|n(n^3-1)(n^3+1)$
Αν $7\:|\:n\Leftrightarrow 7\:|\:n^3\Leftrightarrow n^3 \equiv0 \:(mod\:7)$ .
Αν $7\:|\:n^3-1\Leftrightarrow n^3\equiv1\:(mod\:7)$ .
Αν $7\:|\:n^3+1\Leftrightarrow n^3\equiv-1\:(mod\:7)$ .)

Παίρνοντας λοιπόν $(mod\:7)$ :

$2^x\equiv\pm 1,0 \:(mod\:7)$

από όπου παρατηρούμε πως το

είναι της μορφής x=3y

και με αντικατάσταση (και αν όπου 2^y=l

) βγαίνει:

$l^3+2023=n^3\Leftrightarrow2023=7\cdot17^2=(n-l)(n^2+nl+l^2)$

Θέτουμε όπου n-l=k

και

, και λύνοντας ως προς

την πρώτη και με αντικατάσταση στην δεύτερη προκύπτει το τριώνυμο:

3n^2-3kn+k^2-m=0

Που έχει διακρίνουσα:

$\Delta =-3k^2+12m$

Για $(k,m)=(7\cdot17,17),\:(17^2,7),\:(2023,1)$ βγαίνει αρνητική διακρίνουσα.
Για $(k,m)=(1,2023),\:(7, 17^2), \:(17, 7\cdot17)$ η διακρίνουσα δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Συνεπώς, η εξίσωση είναι αδύνατη, άρα η αρχική παράσταση δεν μπορεί να είναι τέλειος κύβος.

Ιδιοκατασκευή

Ιδιοκατασκευή

Re: Ιδιοκατασκευή

Μέλη σε σύνδεση