Εκθετική εξίσωση

#1

Να λυθεί η 2^x+3^x+4^x+15^x=5^x+9^x+10^x

Σχόλιο. Στο φόρουμ έχουμε δει πολλές φορές ανάλογες εκθετικές εξισώσεις, οι οποίες συνήθως λύνονται με ένα μικρό τέχνασμα. Την συγκεκριμένη την κατασκεύασα ώστε να χρειάζεται ένα μικρό πρώτο βήμα πριν την φέρουμε σε γνώριμη μορφή. Ίσως βγαίνει και χωρίς το πρώτο βήμα που αναφέρομαι, αλλά δεν το βλέπω. Άλλωστε, στα 70 μου, η όραση ... έχει πέσει.

abgd · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 12, 2022 7:45 pm
Να λυθεί η

Είναι
$2^x+3^x+4^x+15^x=5^x+9^x+10^x\Leftrightarrow \left(2^x+3^x-5^x\right) + \left(4^x-9^x\right) +\left(15^x-10^x\right)=0 \Leftrightarrow$

$\left(2^x+3^x-5^x\right) + \left(2^x-3^x\right)\left(2^x+3^x\right) -5^x\left(2^x-3^x\right)=0 \Leftrightarrow$

$\left(2^x+3^x-5^x\right) + \left(2^x-3^x\right)\left(2^x+3^x-5^x)=0 \Leftrightarrow$

$\left(2^x+3^x-5^x\right) \left(1+2^x-3^x\right)=0 \Leftrightarrow$

$2^x+3^x-5^x=0 \ \ \vee \ \ 1+2^x-3^x=0 \Leftrightarrow$

$\bf{ \left(\frac{5}{2}\right)^x-\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \ \ \vee\ \ 3^x-2^x=1}$

Για την επίλυση των τελευταίων εξισώσεων χρησιμοποιούμε το εξής τέχνασμα:

Θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση $\displaystyle{ (k+1)^x-k^x=1\bf{(1)} , \ \ k>0}$ . μία προφανής ρίζα της οποίας είναι το

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(y)=y^x, \ \ y >0 , x\in \mathbb{R}}$ για την οποία κάνουμε Θ.Μ.Τ. στο διάστημα $\displaystyle{[k,k+1], \ \ k>0}$

Έτσι προκύπτει η $\displaystyle{(k+1)^x-k^x=x\xi^{x-1}\Leftrightarrow x\xi^{x-1}=1, \bf{(2)}, \ \ \xi \in (k,k+1)}$

Οι εξισώσεις τώρα $\displaystyle{ \bf{(1), (2)}}$ είναι ισοδύναμες και η $\displaystyle{ \bf{(2)}}$ έχει ρίζα το

και δεν μπορεί να έχει αρνητική ρίζα.

Αν υποθέσουμε ότι έχουν εκτός από το 1 και δεύτερη ρίζα τότε από το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση $\displaystyle{ g(x)=x\xi^{x-1}, \ \ x>0}$

θα πρέπει να υπάρχει $\displaystyle{ r}$ μεταξύ του 1 και της δεύτερης ρίζας των εξισώσεων τέτοιο ώστε:

$\displaystyle{ g^{\prime}(r)=0\Rightarrow r(r-1)\xi^{r-1}=0\Rightarrow r=0 \ \ \vee \ \ r=1}$ ...άτοπο.

Τελικά η μοναδική ρίζα της $\displaystyle{ \bf{(1)}}$ , οπότε και της αρχικής, είναι το

#3

To μικρό αρχικό τέχνασμα που εννοούσα είναι αυτό:

abgd έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 13, 2022 11:55 am
$\left(2^x+3^x-5^x\right) \left(1+2^x-3^x\right)=0$

Τώρα είμαστε σε γνώριμες, γνωστότατες, εκθετικές εξισώσεις.

Εδώ ο απλός τρόπος δεν είναι μέσω των

abgd έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 13, 2022 11:55 am

$2^x+3^x-5^x=0 \ \ \vee \ \ 1+2^x-3^x=0$

$\bf{ \left(\frac{5}{2}\right)^x-\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \ \ \vee\ \ 3^x-2^x=1}$

αλλά, πιο απλά, γράφουμε τις εξισώσεις ως

$\left(\frac{2}{5}\right)^x+\left(\frac{3}{5}\right)^x=1$ και $\left(\frac{1}{3}\right)^x+\left(\frac{2}{3}\right)^x=1$

Και οι δύο συναρτήσεις που βλέπουμε είναι γνήσια φθίνουσες. Άρα, αν οι εξισώσεις έχουν ρίζα, είναι μοναδική. Και στις δύο περιπτώσεις η x=1

είναι προφανής ρίζα.

Εκθετική εξίσωση

Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Re: Εκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση