Σταθερός λόγος από Fermat

sakis1963 · #1

: 2022.071.FB11286 - mathematica.jpg (58.57 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Το σημείο

χωρίζει τις δια αυτού σεβιανές στα ζεύγη τμημάτων (a, x), (b, y), (c, z)

όπως στο σχήμα

Δείξτε ότι $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=2$

#2

sakis1963 έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 11, 2022 7:49 pm
2022.071.FB11286 - mathematica.jpg

Το σημείο χωρίζει τις δια αυτού σεβιανές στα ζεύγη τμημάτων όπως στο σχήμα

Δείξτε ότι $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=2$

Εργάζομαι στο τρίγωνο BFC.

λόγω της διχοτόμου

είναι:

: Fermat.png (15.85 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές

$\displaystyle {x^2} = bc - BD \cdot DC = bc - \frac{{bcB{C^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}.$ Αλλά, BC^2=b^2+c^2+bc.

Άρα,

$\displaystyle x = \frac{{bc}}{{b + c}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$ Ομοίως, $\displaystyle \frac{1}{y} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c},\frac{1}{z} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}.$ Επομένως,

$\boxed{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)}$

Για το $\displaystyle x = \frac{{bc}}{{b + c}},$ μπορείτε να δείτε και εδώ

Σταθερός λόγος από Fermat

Σταθερός λόγος από Fermat

Re: Σταθερός λόγος από Fermat

Μέλη σε σύνδεση