Πολυωνυμική Εξίσωση

anarchopunk · #1

Έστω $n\in\mathbb{Z}_+$ . Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα που ικανοποιούν την παρακάτω σχέση:
$\displaystyle{\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^kP(x+k)=0,\quad\forall x\in\mathbb{R}}$

#2

Αν γράψουμε $\Delta P(x) = P(x+1) - P(x)$ τότε είναι γνωστό (αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά) ότι

$\displaystyle \Delta^n P(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{n-k} P(x+k)$

Μας ζητείται λοιπόν να βρούμε για ποια πολυώνυμα P(x)

έχουμε $\Delta^n P(x) = 0$ για κάθε

.

Όμως για ένα πολυώνυμο βαθμού

, αν $m \geqslant n$ το $\Delta^n P(x)$ έχει βαθμό m-n

(και για

είναι μη μηδενικό*) ενώ αν m < n

τότε το $\Delta^n P(x)$ είναι ταυτοτικά μηδέν.

Άρα η σχέση ισχύει για κάθε πολυώνυμο βαθμού το πολύ n-1

.

* Πράγματι για m=n

έχουμε ότι το $\Delta^{n-1}P(x)$ έχει βαθμό

, έστω $\Delta^{n-1}P(x) = ax+b$ με $a \neq 0$ . Τώρα εύκολα ελέγχουμε ότι $\Delta^nP(x) = a \neq 0$ για κάθε

.

Πολυωνυμική Εξίσωση

Πολυωνυμική Εξίσωση

Re: Πολυωνυμική Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση