Δύο άγνωστοι και μία παράμετρος

#1

Αν

να βρείτε τους θετικούς αριθμούς x,y

για τους οποίους ισχύει η σχέση: $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{3ay}} + \frac{{3a}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^3}}}{{{x^2}}} = 3.$

24 ώρες για μαθητές.

Filippos Athos · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 06, 2021 7:38 pm
Αν να βρείτε τους θετικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: $\displaystyle \frac{{{x^2}}}{{3ay}} + \frac{{3a}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^3}}}{{{x^2}}} = 3.$

24 ώρες για μαθητές.

Απο ΑΜ-ΓΜ έχουμε
$\frac{x^2}{3ay}+\frac{3a}{y^2}+\frac{y^3}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{3ax^2y^3}{3ax^2y^3}}=3$

Αφού ομως ισχύει η ισότητα έχουμε
$\frac{x^2}{3ay}=\frac{3a}{y^2}=\frac{y^3}{x^2}=1$

Δηλαδή βλέπουμε ότι
y^2=3a

Οπως επίσης και
x^2=y^3

συνδυάζωντας αυτά έχουμε ότι $y=\sqrt{3a},x=\sqrt[4]{27a^3}$

Δύο άγνωστοι και μία παράμετρος

Δύο άγνωστοι και μία παράμετρος

Re: Δύο άγνωστοι και μία παράμετρος

Μέλη σε σύνδεση