Πλευρά και χορδή

#1

: Πλευρά και χορδή.png (15.26 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Έστω

το ύψος και

η διάμεσος οξυγώνιου τριγώνου ABC.

Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου BHM

θεωρώ σημείο

ώστε

(τα σημεία B, D

εκατέρωθεν της ευθείας

). Να δείξετε ότι BD=BC.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Kαλημέρα !
Άρση απόκρυψης και αιτιολόγηση. Με χρήση του σχήματος :

: 10-3-18 Πλευρά και Χορδή .PNG (12.25 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Είναι

.Θεωρούμε το

ως τομή του α' κύκλου με τον κύκλο $\left ( M,p \right )$ και θα δείξουμε πρώτα ότι $AD \parallel BM$

Έστω

η τομή της

με τον α' κύκλο , τότε $\widehat{BME}=\widehat{BHE}=90^{0}$ . Τα τρίγωνα AME,MED

έχουν τις

$\widehat{EAM }, \widehat{EDM }$ αμβλείες ενώ

κοινή , $\widehat{AEM}=\widehat{MED}$ και AM=MD=p

.Άρα (κριτήριο για τα αμβλυγώνια) είναι ίσα
συνεπώς και EA=ED

. Η

λοιπόν είναι μεσοκάθετος του

ενώ $EM \perp BM \Rightarrow AD \parallel BM$

Η

τέμνει την

στο μέσον της

οπότε η

είναι διχοτόμος και διάμεσος για το τρίγωνο BCD

άρα

Φιλικά Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 7:53 pm
Πλευρά και χορδή.png
Έστω το ύψος και η διάμεσος οξυγώνιου τριγώνου Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου

θεωρώ σημείο ώστε (τα σημεία εκατέρωθεν της ευθείας ). Να δείξετε ότι

Μια λύση εκτός φακέλου

$\displaystyle MB//AF \Rightarrow B$ μέσον της $\displaystyle FC$ και ο $\displaystyle \left( {B,H,M} \right)$ είναι ο κύκλος Euler του $\displaystyle \vartriangle AFC$

Έτσι , $\displaystyle E$ μέσον της $\displaystyle AF$ και λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου $\displaystyle DMBE \Rightarrow \boxed{DB = EM = BC}$

: pkx.png (15.91 KiB) Προβλήθηκε 804 φορές

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 7:53 pm
Πλευρά και χορδή.png
Έστω το ύψος και η διάμεσος οξυγώνιου τριγώνου Στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου

θεωρώ σημείο ώστε (τα σημεία εκατέρωθεν της ευθείας ). Να δείξετε ότι

Αγνοώ προσωρινά τον κύκλο .

: Πλευρά και χορδή_ok.png (26.36 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο BCMT

. Αν η

τέμνει την

στο

θα

είναι : AN = NB

το δε τετράπλευρο BHMT

ισοσκελές τραπέζιο , άρα εγγεγραμμένο

στον κύκλο της εκφώνησης. Αφού AM = //TB

το τετράπλευρο AMBT

είναι παραλληλόγραμμο.

Συνεπώς η TA//BM

. Το άλλο σημείο τομής της

με τον κύκλο , έστω

,

μαζί με τα σημεία T,B,M

ορίζουν ισοσκελές τραπέζιο άρα :

$\boxed{BP = TM = BC}$ .

Πλευρά και χορδή

Πλευρά και χορδή

Re: Πλευρά και χορδή

Re: Πλευρά και χορδή

Re: Πλευρά και χορδή

Μέλη σε σύνδεση