Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών (ανισότητα)

Al.Koutsouridis · #1

Με αφορμή το θέμα εδώ.

Για τους διαφορετικούς μεταξύ τους θετικούς ακέραιους a_1, a_2, ...,a_n

να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα

$(a^{5}_{1} +a^{5}_{2} + ... + a^{5}_{n}) + (a^{7}_{1} +a^{7}_{2} + ... + a^{7}_{n}) \geq 2 \cdot (a^{3}_{1} +a^{3}_{2} + ... + a^{3}_{n})^2$

Υπάρχουν φυσικοί που να ικανοποιούν την ισότητα;

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 1982, 5ο θέμα της 8ης τάξης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2017 12:20 pm
Με αφορμή το θέμα εδώ.

Για τους διαφορετικούς μεταξύ τους θετικούς ακέραιους να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα

$(a^{5}_{1} +a^{5}_{2} + ... + a^{5}_{n}) + (a^{7}_{1} +a^{7}_{2} + ... + a^{7}_{n}) \geq 2(a^{3}_{1} +a^{3}_{2} + ... + a^{3}_{n})$

Υπάρχουν φυσικοί που να ικανοποιούν την ισότητα;

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 1982, 5ο θέμα της 8ης τάξης.

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ Αλέξαντρε.

Μήπως δεξιά έχουμε

δύναμη αντί

;

Al.Koutsouridis · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2017 12:53 pm
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ Αλέξαντρε.

Μήπως δεξιά έχουμε δύναμη αντί ;

Χρόνια Πολλά κ.Σταύρο! Ναι η παρένθεση στο δεύτερο μέλος είναι στο τετράγωνο. Το διόρθωσα και στην αριχική ανάρτηση. Ευχαριστώ για την επισήμανση.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 27, 2017 12:20 pm
Με αφορμή το θέμα εδώ.

Για τους διαφορετικούς μεταξύ τους θετικούς ακέραιους να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα

$(a^{5}_{1} +a^{5}_{2} + ... + a^{5}_{n}) + (a^{7}_{1} +a^{7}_{2} + ... + a^{7}_{n}) \geq 2 \cdot (a^{3}_{1} +a^{3}_{2} + ... + a^{3}_{n})^2$

Υπάρχουν φυσικοί που να ικανοποιούν την ισότητα;

Την ισότητα την είδαμε στην παραπομπή, για a_k=k

.

Εργαζόμαστε επαγωγικά.

Το ζητούμενο ισχύει για n=1

. Έστω $A\ge 0$ όπου $\displaystyle{A= (a^{5}_{1} + ... + a^{5}_{n}) + (a^{7}_{1} + ... + a^{7}_{n}) - 2 (a^{3}_{1} + ... + a^{3}_{n})^2}$ για οποιουσδήποτε δεδομένους διαφορετικούς μεταξύ τους

το πλήθος φυσικούς. Χωρίς βλάβη $a_n>a_{n-1} > ... > a_1 \ge 1$ .

Για το επαγωγικό βήμα έστω

η αντίστοιχη παράσταση με έναν ακόμη όρο N > a_n

. Θα δείξουμε $B\ge A$ και τελειώσαμε. Το αποδεικτέο ισοδυναμεί με

$\displaystyle{ N^5+N^7 -2 (a^{3}_{1} + ... + a^{3}_{n} +N^3)^2 \ge 2 (a^{3}_{1} + ... + a^{3}_{n})^2 }$ που ισοδυναμεί με

$\displaystyle{ N^5+N^7 -2 (a^{3}_{1} + ... + a^{3}_{n} )^2 - 4(a^{3}_{1} + ... + a^{3}_{n} ) N^3 - 2N^6 \ge 2 (a^{3}_{1} + ... + a^{3}_{n})^2 }$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{ N^5+N^7 - 2N^6 \ge 4(a^{3}_{1} + ... + a^{3}_{n} ) N^3 }$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{ N^2+N^4 - 2N^3 \ge 4(a^{3}_{1} + ... + a^{3}_{n} ) , \, (*)}$ .

Όμως η τελευταία ισχύει διότι $1\le a_1 < a_{2} < ... < a_n \le N-1$ οπότε

$\displaystyle{ 4(a^{3}_{1} + ... + a^{3}_{n} ) \le 4(1^3+2^3+...+(N-1)^3) = 4 \left ( \frac {1}{2}(N-1)N\right ) ^2 = N^4-2N^3+N^2}$ που είναι το αριστερό μέλος της (*)

.

#5

Μπορώ να υποθέσω ότι $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ . Γράφω το δεξί μέλος ως

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \left[2a_k^6 + 4a_k^3(a_1^3 + \cdots + a_{k-1}^3)\right]$

Αν a_k = m

, τότε

$\displaystyle \begin{aligned} \left[2a_k^6 + 4a_k^3(a_1^3 + \cdots + a_{k-1}^3)\right] &\leqslant 2m^6 + 4m^3\left((1^3 + \cdots + (m-1)^3\right) \\ &= 2m^6 + 4m^3 \left(\frac{(m-1)m}{2}\right)^2 \\ &= 2m^6 + m^5(m-1)^2 \\ &= m^5 + m^7 \\ &= a_k^5 + a_k^7 \end{aligned}$

Προσθέτοντας παίρνουμε τόσο την ζητούμενη ανισότητα, όσο και την περίπτωση της ισότητας. (Για κάθε

, θέλουμε $a_1=1,\ldots,a_{k-1}=k-1$ .)

Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών (ανισότητα)

Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών (ανισότητα)

Re: Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών (ανισότητα)

Re: Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών (ανισότητα)

Re: Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών (ανισότητα)

Re: Αθροίσματα δυνάμεων φυσικών (ανισότητα)

Μέλη σε σύνδεση