Γωνίες δίνουν λόγο

#1

: Γωνίες δίνουν λόγο.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Έστω

σημείο της βάσης

ισοσκελούς τριγώνου ABC,

ώστε

και

σημείο της πλευράς AC,

ώστε $B\widehat AD=2E\widehat DC.$ Αν $AB=AC=\dfrac{3BC}{4},$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AE}{EC}.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 23, 2017 6:32 pm
Γωνίες δίνουν λόγο.png
Έστω σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου ώστε και σημείο της πλευράς

ώστε $B\widehat AD=2E\widehat DC.$ Αν $AB=AC=\dfrac{3BC}{4},$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AE}{EC}.$

Αν θέσω $BC = 12k\,\,,\,k > 0$ θα είναι: $AB = AC = 9k\,,\,\,BD = 4k,\,\,DC = 8k$ .

Επίσης εύκολα έχω : $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \cos B = \cos C = \frac{2}{3} \hfill \\ \widehat \phi = \widehat \theta + \widehat C \hfill \\ \widehat \omega + \widehat \theta = 2\widehat \theta + \widehat B \hfill \\ \widehat B = \widehat C \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos B = \cos C = \dfrac{2}{3} \hfill \\ \widehat \phi = \widehat \omega \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: οι γωνίας φέρνουν λόγο.png (23.2 KiB) Προβλήθηκε 621 φορές

Άρα

. Αλλά από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABD$ έχω :

$A{D^2} = 81{k^2} + 16{k^2} - 2 \cdot 9k \cdot 4k \cdot \dfrac{2}{3} \Rightarrow \boxed{AD = 7k}$ συνεπώς $\boxed{\frac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{7k}}{{2k}} = \dfrac{7}{2}}$

Ιστοσελίδα · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 23, 2017 6:32 pm

Έστω σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου ώστε και σημείο της πλευράς

ώστε $B\widehat AD=2E\widehat DC.$ Αν $AB=AC=\dfrac{3BC}{4},$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AE}{EC}.$

Καλησπέρα!

: Γωνίες-δίνουν-λόγο.png (30.32 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Ακολουθώντας την ίδια πορεία με το φίλο Νίκο, φέρνω τη διχοτόμο

της $B\widehat AD$

Από τα όμοια $\triangleleft DEC, \triangleleft AKB$ και από θεώρημα διχοτόμου στο $\triangleleft BAD$ , καταλήγω στο τριώνυμο ${y^2} - 18xy + 32{x^2} = 0$ με δεκτή λύση y = 2x

Έτσι, $\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{9x - 2x}}{{2x}} = \dfrac{7}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 23, 2017 6:32 pm
Γωνίες δίνουν λόγο.png
Έστω σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου ώστε και σημείο της πλευράς

ώστε $B\widehat AD=2E\widehat DC.$ Αν $AB=AC=\dfrac{3BC}{4},$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AE}{EC}.$

Έστω $\displaystyle K$ επί της $\displaystyle AC$ ώστε $\displaystyle \angle CDK = \angle 2x$ .Τότε είναι $\displaystyle \angle ADK = \angle B = \angle C \Rightarrow A{D^2} = AK \cdot AC(1)$

$\displaystyle \vartriangle ABD \simeq \vartriangle KDC \Rightarrow \frac{{KC}}{{BD}} = \frac{{DC}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{KC}}{{\frac{1}{3}BC}} = \frac{{\frac{2}{3}BC}}{{\frac{3}{4}BC}} \Rightarrow KC = \frac{8}{{27}}BC \Rightarrow KC = \frac{{32}}{{81}}AC \Rightarrow \boxed{AK = \frac{{49}}{{81}}AC}$

Από $\displaystyle \left( 1 \right) \Rightarrow A{D^2} = \frac{{49}}{{81}}A{C^2} \Rightarrow AD = AE = \frac{7}{9}AC$ (αφού $\displaystyle \angle ADE = \angle AED$ )

Έτσι $\displaystyle EC = \frac{2}{9}AC$ ,άρα $\displaystyle \boxed{\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{7}{2}}$

: GDL.png (10.82 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Γωνίες δίνουν λόγο

Γωνίες δίνουν λόγο

Re: Γωνίες δίνουν λόγο

Re: Γωνίες δίνουν λόγο

Re: Γωνίες δίνουν λόγο

Μέλη σε σύνδεση