Μια όμορφη συνευθειακότητα!

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Μια όμορφη συνευθειακότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Σεπ 12, 2017 8:00 pm

Μια όμορφη συνευθειακότητα.png
Μια όμορφη συνευθειακότητα.png (79.51 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές
Έστω τρίγωνο \vartriangle ABC και ας είναι S τυχόν σημείο του επιπέδου του. Αν {A}',{B}',{C}' είναι τα σημεία τομής των εκ των A,B,C παραλλήλων προς τις SC,SA,SB με τις ευθείες CB,AC,BA αντίστοιχα, να δειχθεί ότι τα σημεία {A}''\equiv AN\cap {B}'{C}',{B}''\equiv BL\cap {C}'{A}',{C}''\equiv CM\cap {A}'{B}' είναι συνευθειακά, όπου N,L,M είναι τα μέσα των C{C}',A{A}',B{B}' αντίστοιχα.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 229
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Μια όμορφη συνευθειακότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Σεπ 12, 2017 8:39 pm

Με Μενελάου στα \Delta CC'B',\Delta AA'C',BB'A' για τις διατέμνουσες ANA'',B''BL,MCC'' και λόγω των μέσων παίρνουμε : \frac{AB'}{CA}=\frac{B'A''}{C'A''},\frac{BC'}{BA}=\frac{B''C'}{B''A'},\frac{CA'}{BC}=\frac{C''A'}{C''B}.Για το ζητούμενο αρκεί \frac{B'A''}{C'A''} \frac{B''C'}{B''A'} \frac{C''A'}{C''B}=1,όμως, η προηγούμενη παράσταση ισούται με \frac{AB'}{CA} \frac{BC'}{BA} \frac{CA'}{BC} και άρα αρκεί \frac{AB'}{CA} \frac{BC'}{BA} \frac{CA'}{BC}=1.Παίρνοντας τις τομές των AS,BS,CS με τις BC,CA,AB και λόγω των παραλληλιών,αρκεί να αποδειχτεί ότι οι AS,BS,CS συντρέχουν(αντίστροφο Ceva) το οποίο και ισχύει...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες