Θεωρία Σωμάτων

#1

Έστω

το σώμα ριζών του πολυωνύμου $f(x) = x^n-1 \in \mathbb{Q}[x]$ .

(α) Έστω $A \subseteq F^{\times} = \{ z \in F : z \neq 0\}$ μια πεπερασμένη (πολλαπλασιαστική) υποομάδα της

. Να δειχθεί ότι η

είναι κυκλική.

(β) Να δειχθεί ότι η $G = \mathrm{Gal}(F/\mathbb{Q})$ είναι αβελιανή.

Πηγή: Προκριματική Εξέταση, Πανεπιστήμιο Harvard, Φθινόπωρο 2016.

Αν υπάρχει ενδιαφέρον θα βάλω και άλλα θέματα από διάφορα πανεπιστήμια.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Κάνω το α).

Αφου το

είναι πεπερασμένο υπάρχει $k\in \mathbb{N}$

με $x\in A\Rightarrow x^{k}=1$

Αρα το

είναι υποομάδα της κυκλικής ομάδας των

ριζών του

.

Σαν υποομάδα κυκλικής ομάδας είναι κυκλική.

Το μόνο που χρησιμοποιήσαμε ήταν ότι έχουμε μια πεπερασμένη υποομάδα

της πολλαπλασιαστικής ομάδας των μιγαδικών.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Αφου κανένας δεν ασχολείται κάνω και το β) που και αυτό είναι εύκολο.

Αν θέσουμε $r=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ τότε $F=\mathbb{Q}(r)$

Αν s,t

στην ομάδα Galois πρέπει να δείξουμε ότι st=ts

Αλλά $s(r)=r^{m},t(r)=r^{l}$ όπου m,l

ακέραιοι με (n,m)=(n,l)=1

Εύκολα βλέπουμε ότι

ts(r)=st(r)

και λόγω ότι $F=\mathbb{Q}(r)$ προκύπτει st=ts

Θεωρία Σωμάτων

Θεωρία Σωμάτων

Re: Θεωρία Σωμάτων

Re: Θεωρία Σωμάτων

Μέλη σε σύνδεση