Σειρά με Ci

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με ${\rm Ci}$ τη συνάρτηση Cosine integral function. Υπολογισθήτω :
$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}{\rm Ci}(na)}{n^2}}$ όπου $0 \leq a \leq 2\pi$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Υπολογισθήτω : $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}{\rm Ci}(na)}{n^2}}$ όπου $0 \leq a \leq 2\pi$ .

Για $\displaystyle{ - \pi \le a \le \pi }$ βρίσκω $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}Ci\left( {n \cdot a} \right)}}{{{n^2}}}} = - \frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{\pi ^2}\log a}}{{12}} - \frac{{{\pi ^2}\log 2}}{{12}} + \frac{{{\pi ^2} \cdot \gamma }}{{12}} - \frac{1}{2}\zeta '\left( 2 \right)}$

Αν $\displaystyle{a > \pi }$ το αποτέλεσμα τροποποιείται ελαφρά.

Επειδή οι υπολογισμοί είναι αρκετά πολύπλοκοι κι επειδή είναι αδύνατη η αριθμητική επαλήθευση μέσω λογισμικού, αναμένω επιβεβαίωση.

#3

Χωρίς να είναι εξαιρετικά δύσκολη, είναι τρομερά μπελαλίδικη ..

Λήμμα 1 : $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos \left( {n \cdot x} \right)}}{{{n^2}}}} = - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{\left( {x - 2\pi \left[ {\frac{{x + \pi }}{{2\pi }}} \right]} \right)^2}}$ διότι

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos \left( {n \cdot x} \right)}}{{{n^2}}}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{e^{i \cdot n \cdot \left( {x + \pi } \right)}} + {e^{ - i \cdot n \cdot \left( {x + \pi } \right)}}}}{{{n^2}}}} = \frac{1}{2}\left( {L{i_2}\left( {{e^{i \cdot \left( {x + \pi } \right)}}} \right) + L{i_2}\left( {\frac{1}{{{e^{i \cdot \left( {x + \pi } \right)}}}}} \right)} \right)}$ .
Όμως από εδώ http://functions.wolfram.com/ZetaFuncti ... owAll.html γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{L{i_2}\left( z \right) + L{i_2}\left( {\frac{1}{z}} \right) = - \frac{1}{2}Lo{g^2}\left( { - z} \right) - \frac{{{\pi ^2}}}{6}}$ ,
οπότε παίρνοντας τον πρωτεύοντα κλάδο του λογαρίθμου έχουμε $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos \left( {n \cdot x} \right)}}{{{n^2}}}} = - \frac{1}{4}\left( {Lo{g^2}\left( { - {e^{i \cdot \left( {x + \pi } \right)}}} \right) + \frac{{{\pi ^2}}}{3}} \right) = }$

$\displaystyle{ = - \frac{1}{4}\left( {Lo{g^2}\left( {{e^{i \cdot x}}} \right) + \frac{{{\pi ^2}}}{3}} \right) = - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{\left( {x - 2\pi \left[ {\frac{{x + \pi }}{{2\pi }}} \right]} \right)^2}}$

Λήμμα 2: $\displaystyle{\frac{1}{2}\int\limits_a^\pi {\frac{1}{x}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{x^2}} \right)dx} = \frac{{{\pi ^2} - {a^2}}}{{16}} - \frac{{{\pi ^2}}}{{24}} \cdot \log \frac{\pi }{a}}$ στοιχειώδες

Λήμμα 3: $\displaystyle{\int\limits_{\left( {2n - 1} \right) \cdot \pi }^{\left( {2n + 1} \right) \cdot \pi } {\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12 \cdot x}} + \frac{x}{4} + \frac{{{\pi ^2} \cdot {n^2}}}{x} - \pi \cdot n} \right)dx} = {\pi ^2}\left( { - n + \left( {{n^2} - \frac{1}{{12}}} \right) \cdot \log \frac{{2n + 1}}{{2n - 1}}} \right)}$ επίσης στοιχειώδες

Στο θέμα μας

$\displaystyle{I = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}Ci\left( {n \cdot a} \right)}}{{{n^2}}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\int\limits_{n \cdot a}^\infty {\frac{{\cos \left( x \right)}}{x}dx} } \mathop { = = = }\limits^{x \to n \cdot x} }$ $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\int\limits_a^\infty {\frac{{\cos \left( {n \cdot x} \right)}}{x}dx} } = \int\limits_a^\infty {\frac{1}{x}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos \left( {n \cdot x} \right)}}{{{n^2}}}} } \right)dx} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\int\limits_a^\infty {\frac{1}{x}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{{\left( {x - 2\pi \left[ {\frac{{x + \pi }}{{2\pi }}} \right]} \right)}^2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_a^\pi {\frac{1}{x}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{{\left( {x - 2\pi \left[ {\frac{{x + \pi }}{{2\pi }}} \right]} \right)}^2}} \right)dx} }$ $\displaystyle{ + \frac{1}{2}\int\limits_\pi ^\infty {\frac{1}{x}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{{\left( {x - 2\pi \left[ {\frac{{x + \pi }}{{2\pi }}} \right]} \right)}^2}} \right)dx} }=$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2}\int\limits_a^\pi {\frac{1}{x}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{x^2}} \right)dx} + \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\int\limits_{\left( {2n - 1} \right) \cdot \pi }^{\left( {2n + 1} \right) \cdot \pi } {\frac{1}{x}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{{\left( {x - 2 \cdot \pi \cdot n} \right)}^2}} \right)dx} } }$ $\displaystyle{ = \frac{{{\pi ^2} - {a^2}}}{{16}} - \frac{{{\pi ^2}}}{{24}} \cdot \log \frac{\pi }{a} + }$

$\displaystyle{ + \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\int\limits_{\left( {2n - 1} \right) \cdot \pi }^{\left( {2n + 1} \right) \cdot \pi } {\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12 \cdot x}} + \frac{x}{4} + \frac{{{\pi ^2} \cdot {n^2}}}{x} - \pi \cdot n} \right)dx} } = }$ $\displaystyle{\frac{{{\pi ^2} - {a^2}}}{{16}} - \frac{{{\pi ^2}}}{{24}} \cdot \log \frac{\pi }{a} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - n + \left( {{n^2} - \frac{1}{{12}}} \right) \cdot \log \frac{{2n + 1}}{{2n - 1}}} \right)} }$

Μένει να υπολογιστεί η σειρά $\displaystyle{S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - n + \left( {{n^2} - \frac{1}{{12}}} \right) \cdot \log \frac{{2n + 1}}{{2n - 1}}} \right)} }$ που ομολογουμένως είναι εξοντωτική.

$\displaystyle{{S_N} = \sum\limits_{n = 1}^N {\left( { - n + \left( {{n^2} - \frac{1}{{12}}} \right) \cdot \log \frac{{2n + 1}}{{2n - 1}}} \right)} = - \frac{{N\left( {N + 1} \right)}}{2}}$ $\displaystyle{ + \log \prod\limits_{n = 1}^N {\frac{{{{\left( {2n + 1} \right)}^{{n^2} - 1/12}}}}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^{{n^2} - 1/12}}}}} = - \frac{{N\left( {N + 1} \right)}}{2} + }$

$\displaystyle{ = \log \frac{{{3^{{1^2} - 1/12}} \cdot {5^{{2^2} - 1/12}} \cdot {\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N + 1} \right)}^{{N^2} - 1/12}}}}{{{1^{{1^2} - 1/12}} \cdot {3^{{2^2} - 1/12}} \cdot {\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N - 1} \right)}^{{N^2} - 1/12}}}} = }$ $\displaystyle{ - \frac{{N\left( {N + 1} \right)}}{2} + \log {\left( {2N + 1} \right)^{ - 1/12}}\frac{{{3^{{1^2}}} \cdot {5^{{2^2}}} \cdot {\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N + 1} \right)}^{{N^2}}}}}{{{1^{{1^2}}} \cdot {3^{{2^2}}} \cdot {\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N - 1} \right)}^{{N^2}}}}} = }$

$\displaystyle{ = \log \frac{{{{\left( {2N + 1} \right)}^{{N^2} - 1/12}}}}{{{3^3} \cdot {5^5}{\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N - 1} \right)}^{2N - 1}} \cdot {e^{N\left( {N + 1} \right)/2}}}} = }$ $\displaystyle{\log \frac{{{{\left( {2N + 1} \right)}^{{N^2} - 1/12}} \cdot {2^2} \cdot {4^4}{\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N} \right)}^{2N}}}}{{{2^2} \cdot {3^3} \cdot {4^4} \cdot {5^5}{\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N - 1} \right)}^{2N - 1}} \cdot {{\left( {2N} \right)}^{2N}} \cdot {e^{N\left( {N + 1} \right)/2}}}} = }$

$\displaystyle{ = \log \frac{{{{\left( {2N + 1} \right)}^{{N^2} - 1/12}} \cdot {2^{N\left( {N + 1} \right)}} \cdot {{\left( {{2^2} \cdot {3^3}{\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {N^N}} \right)}^2}}}{{{2^2} \cdot {3^3} \cdot {4^4} \cdot {5^5}{\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N} \right)}^{2N}} \cdot {e^{N\left( {N + 1} \right)/2}}}} = }$

$\displaystyle{ = \log \frac{{{N^{{N^2} + N + \dfrac{1}{6}}} \cdot {e^{\dfrac{{ - {N^2}}}{2}}}{{\left( {2N + 1} \right)}^{{N^2} - 1/12}} \cdot {2^{N\left( {N + 1} \right)}} \cdot {{\left( {\dfrac{{{2^2} \cdot {3^3}{\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {N^N}}}{{{N^{\dfrac{{{N^2}}}{2} + \dfrac{N}{2} + \dfrac{1}{{12}}}} \cdot {e^{\dfrac{{ - {N^2}}}{4}}}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {2N} \right)}^{\dfrac{{{{\left( {2N} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{{\left( {2N} \right)}}{2} + \dfrac{1}{{12}}}} \cdot {e^{\dfrac{{ - {{\left( {2N} \right)}^2}}}{4}}}\left( {\dfrac{{{2^2} \cdot {3^3} \cdot {4^4} \cdot {5^5}{\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N} \right)}^{2N}}}}{{{{\left( {2N} \right)}^{\dfrac{{{{\left( {2N} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{{\left( {2N} \right)}}{2} + \dfrac{1}{{12}}}} \cdot {e^{\frac{{ - {{\left( {2N} \right)}^2}}}{4}}}}}} \right) \cdot {e^{N\left( {N + 1} \right)/2}}}}}$

Από εδώ https://en.wikipedia.org/wiki/Glaisher% ... n_constant έχουμε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \frac{{{2^2} \cdot {3^3} \cdot {\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {N^N}}}{{{N^{\dfrac{{{N^2}}}{2} + \dfrac{N}{2} + \dfrac{1}{{12}}}} \cdot {e^{\dfrac{{ - {N^2}}}{4}}}}} = A}$ , όπου $\displaystyle{A}$ η σταθερά του Glaisher–Kinkelin,

άρα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \log {\left( {\frac{{{2^2} \cdot {3^3}{\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {N^N}}}{{{N^{\dfrac{{{N^2}}}{2} + \dfrac{N}{2} + \dfrac{1}{{12}}}} \cdot {e^{\dfrac{{ - {N^2}}}{4}}}}}} \right)^2} = 2 \cdot \log A}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \log \left( {\frac{{{2^2} \cdot {3^3} \cdot {4^4} \cdot {5^5}{\rm{ }}..{\rm{ }} \cdot {{\left( {2N} \right)}^{2N}}}}{{{{\left( {2N} \right)}^{\dfrac{{{{\left( {2N} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{{\left( {2N} \right)}}{2} + \dfrac{1}{{12}}}} \cdot {e^{\dfrac{{ - {{\left( {2N} \right)}^2}}}{4}}}}}} \right) = \log A}$

οπότε $\displaystyle{S = \log A + \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \log \frac{{{N^{{N^2} + N + \frac{1}{6}}} \cdot {e^{\frac{{ - {N^2}}}{2}}}{{\left( {2N + 1} \right)}^{{N^2} - 1/12}} \cdot {2^{N\left( {N + 1} \right)}}}}{{{{\left( {2N} \right)}^{\dfrac{{{{\left( {2N} \right)}^2}}}{2} + \dfrac{{\left( {2N} \right)}}{2} + \dfrac{1}{{12}}}} \cdot {e^{\dfrac{{ - {{\left( {2N} \right)}^2}}}{4}}} \cdot {e^{N\left( {N + 1} \right)/2}}}} = }$

$\displaystyle{ = \log A + \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \log \frac{{{{\left( {2N} \right)}^{{N^2} + N}} \cdot {N^{\dfrac{1}{6}}} \cdot {e^{\dfrac{{ - {N^2}}}{2}}}{{\left( {2N + 1} \right)}^{{N^2}}}{{\left( {2N + 1} \right)}^{ - \dfrac{1}{{12}}}}}}{{{{\left( {2N} \right)}^{2{N^2} + N}} \cdot {{\left( {2N} \right)}^{\dfrac{1}{{12}}}} \cdot {e^{ - {N^2}}} \cdot {e^{\dfrac{{{N^2}}}{2} + \dfrac{N}{2}}}}} = }$

$\displaystyle{ = \log A + \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \log {2^{ - \dfrac{1}{6}}} \cdot {\left( {\frac{{2N}}{{2N + 1}}} \right)^{\dfrac{1}{{12}}}}{\left( {\frac{{2N + 1}}{{2N}}} \right)^{{N^2}}} \cdot {e^{ - \dfrac{N}{2}}}}$ $\displaystyle{ = \log A - \frac{{\log 2}}{6} + \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \log {\left( {1 + \frac{1}{{2N}}} \right)^{{N^2}}} \cdot {e^{ - \dfrac{N}{2}}}}$

Κλασσικά (Λύκειο) βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \log {\left( {1 + \frac{1}{{2N}}} \right)^{{N^2}}} \cdot {e^{ - \dfrac{N}{2}}} = - \frac{1}{8}}$ και τελικά $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - n + \left( {{n^2} - \frac{1}{{12}}} \right) \cdot \log \frac{{2n + 1}}{{2n - 1}}} \right)} = - \frac{1}{8} - \frac{{\log 2}}{6} + \log A}$

Συμμαζεύοντας τα παραπάνω έχουμε $\displaystyle{I = \frac{{{\pi ^2} - {a^2}}}{8} - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} \cdot \log \frac{\pi }{a} + {\pi ^2}\left( { - \frac{1}{8} - \frac{{\log 2}}{6} + \log A} \right) = - \frac{{{a^2}}}{8} - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} \cdot \log \frac{\pi }{a} - \frac{{{\pi ^2}\log 2}}{6} + {\pi ^2}\log A}$

Επειδή πάλι από εδώ https://en.wikipedia.org/wiki/Glaisher% ... n_constant γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{ - \zeta '\left( 2 \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\left( {12 \cdot \log A - \gamma - \log 2 - \log \pi } \right)}$

επομένως $\displaystyle{{\pi ^2} \cdot \log A = \frac{{{\pi ^2} \cdot \gamma }}{{12}} + \frac{{{\pi ^2}\log \pi }}{{12}} + \frac{{{\pi ^2}\log 2}}{{12}} - \frac{1}{2}\zeta '\left( 2 \right)}$ με τελικό εναλλακτικό αποτέλεσμα

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}Ci\left( {n \cdot a} \right)}}{{{n^2}}}} = - \frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{\pi ^2}\log a}}{{12}} - \frac{{{\pi ^2}\log 2}}{{12}} + \frac{{{\pi ^2} \cdot \gamma }}{{12}} - \frac{1}{2}\zeta '\left( 2 \right)}$

Υ.Γ Αν $\displaystyle{a > \pi }$ , προκύπτει μια μικρή διαφοροποίηση στο ολοκλήρωμα $\displaystyle{\frac{1}{2}\int\limits_a^\pi {\frac{1}{x}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{{\left( {x - 2\pi \left[ {\frac{{x + \pi }}{{2\pi }}} \right]} \right)}^2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_a^\pi {\frac{1}{x}\left( { - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}} + \frac{1}{4}{x^2}} \right)dx} }$
διότι αλλάζει κατά μια μονάδα το ακέραιο μέρος.

Tolaso J Kos · #4

Γεια σου Σεραφείμ...

Μία εναλλακτική προσέγγιση όταν $a \in [-\pi , \pi]$ . Από εδώ ( εξίσωση (2)

) γνωρίζουμε ότι για θετικά

ισχύει
$\displaystyle{{\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x - \int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} \, {\rm d}t}$ όπου $\gamma$ η σταθερά των Euler - Mascheroni.

Τότε θέτοντας $n \mapsto na$ έχουμε ότι:
$\displaystyle{{\rm Ci}(an) = \gamma + \ln a + \ln n - \int_{0}^{a} \frac{1-\cos nt}{t} \, {\rm d}t \quad \quad (1)}$ Επίσης είναι γνωστό από τις σειρές Fourier ( εδώ $x \in (-\pi, \pi)$ ) ότι
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \sin nx}{n} = \frac{x}{2} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \cos nx}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{x^2}{4} }$ Αθροίζοντας την (1)

και χρησιμοποιώντας την ομοιόμορφη σύγκλιση της δεύτερης σειράς έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} {\rm Ci}(na)}{n^2} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \left [ \gamma + \ln a + \ln n - \int_{0}^{a} \frac{1- \cos nt}{t} \, {\rm d}t \right ] \\ &= \frac{\gamma \pi^2}{12} + \frac{\pi^2\ln a }{12} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \ln n}{n^2} - \int_{0}^{a} \frac{1}{t} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\left [ \frac{1}{n^2} - \frac{\cos nt}{n^2} \right ] \, {\rm d}t \\ &= \frac{\gamma \pi^2}{12} + \frac{\pi^2 \ln a}{12} - \eta'(2) - \int_{0}^{a} \frac{1}{t} \left [ \frac{\pi^2}{12} - \frac{\pi^2}{12} + \frac{t^2}{4} \right ] \, {\rm d}t\\ &= \frac{\gamma \pi^2}{12} + \frac{\pi^2 \ln a}{12} - \eta'(2) - \frac{1}{4}\int_{0}^{a} t \, {\rm d}t \\ &= \frac{\gamma \pi^2}{12} + \frac{\pi^2 \ln a}{12} - \eta'(2) - \frac{a^2}{8} \\ &= \frac{\gamma \pi^2}{12} + \frac{\pi^2 \ln a}{12} - \frac{\pi^2 \ln 2}{12} - \frac{\zeta'(2)}{2} - \frac{a^2}{8} \end{aligned}}$ To αποτέλεσμα μπορεί να επεκταθεί και άλλο αφού γνωρίζουμε τη τιμή $\zeta'(2)$ η οποία περιέχει μέσα τη σταθερά Glashier - Kinkelin.

Διόρθωσα το τυπογραφικό στο πρόσημο. Σεραφείμ συμφωνήσαμε!

Σειρά με Ci

Σειρά με Ci

Re: Σειρά με Ci

Re: Σειρά με Ci

Re: Σειρά με Ci

Μέλη σε σύνδεση