Ύψος υπό συνθήκη

#1

Έστω

το βαρύκεντρο,

το έγκεντρο και AD=h

το ύψος τριγώνου ABC.

α) Αν $\displaystyle{a=\frac{b+c}{3}}$ να δείξετε ότι h=12GI

και $\displaystyle{GI \bot BC}.$

β) Αν $\displaystyle{GI \bot BC}$ είναι πάντα $\displaystyle{a=\frac{b+c}{3}};$

#2

george visvikis έγραψε:Έστω το βαρύκεντρο, το έγκεντρο και το ύψος τριγώνου α) Αν $\displaystyle{a=\frac{b+c}{3}}$ να δείξετε ότι και $\displaystyle{GI \bot BC}.$ β) Αν $\displaystyle{GI \bot BC}$ είναι πάντα $\displaystyle{a=\frac{b+c}{3}};$

.

1η Λύση

: Υψος υπό συνθήκες.png (40.43 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

$\bullet$ α) Από την τριγωνική ανισότητα ισχύει: $\left\{ \begin{gathered} b + a > c \\ c + a > b \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2b + a > b + c \\ 2c + a > b + c \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{b + c = 3a} \left\{ \begin{gathered} 2b + a > 3a \\ 2c + a > 3a \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} b > a \hfill \\ c > a \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Εστω και είναι οι ορθές προβολές των στις αντίστοιχα και $CE \bot AB\left( {E \in AB} \right)$ θα έχουμε:

$ES\mathop = \limits^{2o\,\,\Theta .\Delta \iota \alpha \mu \varepsilon \sigma \omega \nu } \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2c}}\mathop \Rightarrow \limits^{CS = 3GS,CE\parallel IF} QS = \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{6c}} \Rightarrow$ $BQ = \left| {BS - QS} \right| = \left| {\dfrac{c}{2} - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{6c}}} \right| \Rightarrow$

$FQ = \left| {BQ - BF} \right| = \left| {\dfrac{c}{2} - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{6c}} - \left( {\dfrac{{a + b + c}}{2} - b} \right)} \right| =$ $\left| { - \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{6c}} + \dfrac{{b - a}}{2}} \right| = \left| { - \dfrac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right)}}{{6c}} + \dfrac{{3c\left( {b - a} \right)}}{{6c}}} \right| =$

$\dfrac{{b - a}}{{6c}} \cdot \left| {3c - b - a} \right|\mathop = \limits^{b + c = 3a} \dfrac{{b - \dfrac{{b + c}}{3}}}{{6c}} \cdot \left| {3c - b - \dfrac{{b + c}}{3}} \right| =$ $\dfrac{{\left| {2b - c} \right|}}{{54c}} \cdot \left| {8c - 4b} \right| = \dfrac{{2\left| {2b - c} \right| \cdot \left| {2c - b} \right|}}{{27c}}$

$\mathop \Rightarrow \limits^{\left\{ \begin{subarray}{l} b < a + c \Rightarrow b < \frac{{b + c}}{3} + c \Rightarrow b < 2c \Rightarrow 2c - b > 0 \\ c < a + b \Rightarrow c < \frac{{b + c}}{3} + b \Rightarrow c < 2b \Rightarrow 2b - c > 0 \end{subarray} \right.}$ $\boxed{FQ = \dfrac{{2\left( {2b - c} \right)\left( {2c - b} \right)}}{{27c}} \ne 0}:\left( 1 \right)$

και με όμοιο τρόπο (με $b \leftrightarrow c$ ) προκύπτει $\boxed{KL = \dfrac{{2\left( {2c - b} \right)\left( {2b - c} \right)}}{{27b}} \ne 0}:\left( 2 \right)$ .
[attachment=1]Υψος υπό συνθήκες.png[/attachment]
Διαιρώντας κατα μέλη τις σχέσεις $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ παίρνουμε: $\dfrac{{FQ}}{{KL}} = \dfrac{{\dfrac{{2\left( {2b - c} \right)\left( {2c - b} \right)}}{{27c}}}}{{\dfrac{{2\left( {2c - b} \right)\left( {2b - c} \right)}}{{27b}}}} = \dfrac{b}{c} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{FQ}}{{KL}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}}:\left( 3 \right)$ .

Από τη σχέση $\left( 3 \right)$ σύμφωνα με το [/color][color=#000000][b][i]Stathis Ko ... b][/color] προκύπτει ότι $IG \bot BC$ οπότε συνευθειακά,

όπου είναι το σημείο επαφής του έγκυκλου $\left( I \right)$ με την . Από $MG = \dfrac{1}{3}AM \Rightarrow \left( {BGC} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {ABC} \right)$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\iota \delta \iota \alpha \,\,\beta \alpha \sigma \eta \,\,AC} \boxed{GN = \dfrac{1}{3}h}:\left( 4 \right)$ .

Αλλά $\left( {ABC} \right) = \dfrac{{a + b + c}}{2} \cdot r = \dfrac{{a \cdot h}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{b + c = 3a}$ $2ar = \dfrac{{a \cdot h}}{2} \Rightarrow \boxed{r = \dfrac{h}{4}}:\left( 5 \right)$ .

Από $\left( 4 \right),\left( 5 \right)$ προκύπτει ότι είναι μεταξύ των , άρα από $\left( 4 \right) \Rightarrow r + IG = \dfrac{1}{3}h\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} IG = \dfrac{1}{3}h - \dfrac{1}{4}h = \dfrac{h}{{12}}$ $\Rightarrow \boxed{h = 12IG}$ .
[attachment=0]Υψος υπό συνθήκες.png[/attachment]
$\bullet$ β) Επειδή το Θ. Κούτρα είναι ισοδυναμία από $IG \bot BC$ θα είναι $FQ \cdot AB = KL \cdot AC \Rightarrow$

$c \cdot \dfrac{{\left| {b - a} \right|}}{{6c}}\left| {3c - b - a} \right| = b \cdot \dfrac{{\left| {c - a} \right|}}{{6b}}\left| {3b - c - a} \right| \Leftrightarrow$ $\left| {b - a} \right| \cdot \left| {3c - b - a} \right| = \left| {c - a} \right| \cdot \left| {3b - c - a} \right| \Leftrightarrow$

$\left| {3bc - {b^2} - ab - 3ac + ab + {a^2}} \right| = \left| {3bc - {c^2} - ac - 3ab + ac + {a^2}} \right|$ $\Leftrightarrow \left| {3bc - {b^2} - 3ac + {a^2}} \right| = \left| {3bc - {c^2} - 3ab + {a^2}} \right| \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 3bc - {b^2} - 3ac + {a^2} = 3bc - {c^2} - 3ab + {a^2}\,\,\, \vee \,\,$ $\,3bc - {b^2} - 3ac + {a^2} = - 3bc + {c^2} + 3ab - {a^2} \Leftrightarrow$

${b^2} - {c^2} - 3a\left( {b - c} \right) = 0\,\,\, \vee \,\,$ $2{a^2} - 3\left( {b + c} \right)a - {b^2} - {c^2} + 6bc = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {b - c} \right)\left( {b + c - 3a} \right) = 0\,\, \vee \,$ $\,2{a^2} - 3\left( {b + c} \right)a - {b^2} - {c^2} + 6bc = 0 \Leftrightarrow$

$b = c\,\, \vee \,\,b + c = 3a\,\, \vee \,\,$ $2{a^2} - 3\left( {b + c} \right)a - {b^2} - {c^2} + 6bc = 0$

οπότε η δοσμένη καθετότητα μπορεί να προκύψει τουλάχιστον και στην περίπτωση που

2η Λύση

α) $B{G^2} = {\left( {\dfrac{2}{3}{\mu _b}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\mu _b^2 = \dfrac{4}{9}\dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{9}$ και $C{G^2} = {\left( {\dfrac{2}{3}{\mu _c}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\mu _c^2 = \dfrac{4}{9}\dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{4} = \dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{9}$

Ετσι $B{G^2} - C{G^2} = \dfrac{{2{a^2} + 2{c^2} - {b^2}}}{9} - \dfrac{{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}}}{9} = \dfrac{{{c^2} - {b^2}}}{3}:\left( 1 \right)$ .

Επίσης $I{B^2} = B{N^2} + I{N^2} = {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{2} - b} \right)^2} + {r^2}$ και $I{C^2} = C{N^2} + I{N^2} = {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{2} - c} \right)^2} + {r^2}$ οπότε:

$I{B^2} - I{C^2} = {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{2} - b} \right)^2} - {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{2} - c} \right)^2}$ $= {\left( {\dfrac{{a + c - b}}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{{a + b - c}}{2}} \right)^2} =$

$\dfrac{{2a}}{2} \cdot \left( {\dfrac{{2c - 2b}}{2}} \right) = a\left( {c - b} \right)\mathop = \limits^{b + c = 3a} \dfrac{{b + c}}{3}\left( {c - b} \right) = \dfrac{{{c^2} - {b^2}}}{3}:\left( 2 \right)$ . Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow B{G^2} - C{G^2} = I{B^2} - I{C^2} \Leftrightarrow \boxed{IG \bot BC}$ .

β) Αν $IG \bot BC \Leftrightarrow \ldots \dfrac{{{c^2} - {b^2}}}{3} = a\left( {c - b} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c = b \hfill \\ \vee \hfill \\ a = \dfrac{{b + c}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ οπότε δεν ισχύει το αντίστροφο.

**Για το ύψος όπως στην πρώτη λύση

Στάθης

#3

Σ' ευχαριστώ Στάθη και για τις δύο λύσεις!

Πηγή έμπνευσης της άσκησης είναι το εξαιρετικό άρθρο του Θάνου Μάγκου ( Οι αποστάσεις Περιοδικό Μελέτη-1, σελίδα 13)

Εκεί δίνεται ο τύπος: $\boxed{G{I^2} = \frac{1}{9}\left( {{\tau ^2} - 16R\rho + 5{\rho ^2}} \right)}$ (1)

(Ομολογώ ότι δεν τον γνώριζα).

Τώρα, από $\displaystyle{b + c = 3a \Leftrightarrow }$ $\boxed{\tau = 2a},$ $\displaystyle{\tau \rho = \frac{{ah}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\rho = \frac{h}{4}}$ και $\displaystyle{bc = 2Rh \Leftrightarrow }$ $\boxed{8R\rho = bc}$

Εξάλλου, $\displaystyle{\sqrt {\tau (\tau - a)(\tau - b)(\tau - c)} = \sqrt {2{a^2}(2a - b)(2a - c)} = \frac{{ah}}{2} \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2}\left[ {4{a^2} - 2(b + c)a + bc} \right]} = \frac{{ah}}{2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{a\sqrt {2bc - 4{a^2}} = \frac{{ah}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{{h^2}}}{4} = 2bc - 4{a^2}}$ (2)

Από την

τώρα, έχουμε: $\displaystyle{G{I^2} = \frac{1}{9}\left( {4{a^2} - 2bc + \frac{{5{h^2}}}{{16}}} \right)\mathop = \limits^{(2)} \frac{1}{9}\left( { - \frac{{{h^2}}}{4} + \frac{{5{h^2}}}{{16}}} \right) \Leftrightarrow }$ $\boxed{h=12GI}$

Ύψος υπό συνθήκη

Ύψος υπό συνθήκη

Re: Ύψος υπό συνθήκη

Re: Ύψος υπό συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση