Νέα παραλληλία

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ !

: 16-2-17 Νέα παραλληλία.PNG (11.36 KiB) Προβλήθηκε 1215 φορές

Στο σχήμα , το ABCD

είναι παραλληλόγραμμο ενώ BE=DZ=DH

Να δειχθεί ότι $PC\parallel ZH$ .

ώρες για μαθητές ..( αν και δε νομίζω ότι θα χρειαστούν τόσες πολλές !)..Γεωμετρία Β' Λυκείου

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Προεκτείνουμε την

και έστω

το σημείο τομής της με την

. Θέλουμε να ισχύει ότι KZ=CH

, δηλαδή ότι το τρίγωνο KDC

είναι ισοσκελές. Για αυτό αρκεί η

να είναι διχοτόμος της $\widehat{BCD}$ .

Φέρνουμε από το

παράλληλη προς την

που τέμνει την

στο

και από το

παράλληλη προς την

που τέμνει την

στο

. Αυτές οι δύο τέμνονται στο

.

Έστω ακόμη

τo σημείο τομής της

με την

.

Προφανώς το SGCF

είναι ρόμβος, άρα η

είναι διχοτόμος της $\widehat{BCD}$ . Αρκεί να αποδείξουμε πως η

είναι διχοτόμος της $\widehat{ESZ}$ .

Επιπλέον έχουμε ότι $\dfrac{MS}{SZ}=\dfrac{ME}{EB}$ (1), επειδή τα τρίγωνα MSZ

και

είναι όμοια.

Ακόμα έχουμε ότι $\dfrac{MP}{PZ}=\dfrac{ME}{ZD}=\dfrac{ME}{EB}$ (2), καθώς τα τρίγωνα MPE

και

είναι όμοια και ZD=EB

.

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι $\dfrac{MS}{SZ}=\dfrac{MP}{PZ}$ , άρα από το θεώρημα των διχοτόμων προκύπτει ότι η

είναι διχοτόμος της $\widehat{ESZ}$ .

#3

Έστω

το σημείο τομής $DE\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,CB$ . Διαδοχικά θα έχουμε:

: Νέα παραλληλία.png (21.54 KiB) Προβλήθηκε 1150 φορές

$\dfrac{{PS}}{{PD}} = \dfrac{{SB}}{{ZD}} = \dfrac{{SB}}{{BE}} = \dfrac{{CS}}{{CD}}$ και άρα $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ , Αν τώρα η

κόψει την

στο

, το

τρίγωνο DKC

θα είναι ισοσκελές με κορυφή το

και αφού και το τρίγωνο DZH

είναι ισοσκελές με την ίδια κορυφή, αναγκαστικά ZH//KC

.

dement · #4

Διαφορετικά με... ολίγη από τριγωνομετρία.

Διαπιστώνουμε ότι $R(\triangle{BEP}) = R(\triangle{ZDP})$ (ίσες πλευρές απέναντι από ίσες γωνίες).

Έτσι, $\displaystyle \frac{BP}{DP} = \frac{\sin \hat{BEP}}{\sin \hat{DZP}} = \frac{\sin \hat{PDC}}{\sin \hat{PBC}}$

Άρα $BP \sin \hat{PBC} = DP \sin \hat{PDC}$ και το

ισαπέχει από τις BC, DC

, οπότε βρίσκεται στη διχοτόμο της $\hat{BCD}$ .

Έπεται $\displaystyle \hat{PCD}=\frac{\hat{BCD}}{2}=\hat{ZHD}$ εξ ου η ζητούμενη παραλληλία.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα ! Να ευχαριστήσω το νεαρό Διονύση και βεβαίως τον Νίκο και τον Δημήτρη..
Ωραίες αποδείξεις , όπου προηγείται η απόδειξη ότι η

διχοτομεί την $\widehat{C}$ .
Ας δούμε και μια απ' ευθείας απόδειξη της (νέας) παραλληλίας , η οποία όπως θα δούμε ισχύει γενικότερα :

: Νέα παραλληλία 19-2.PNG (11.61 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

Ως δεδομένα έχουμε το παραλληλόγραμμο με .

Θεωρούμε τυχαίο σημείο της και έστω η τομή της με την . Θα δείξουμε τη σχέση $PC\parallel ZH$ .

Οι BZ,CD

τέμνονται στο

. Από $ZD\parallel BC$ έπεται $\dfrac{OZ}{OB}=\dfrac{OD}{OC}\Leftrightarrow OB\cdot OD=OZ\cdot OC..(1)$

Από $BE\parallel DO$ έχουμε τα όμοια τρίγωνα BEP,POD

οπότε $\dfrac{OP}{BP}=\dfrac{OD}{BE}\Rightarrow \dfrac{OP}{OP+BP}=\dfrac{OD}{OD+BE}\Rightarrow \dfrac{OP}{OB}=\dfrac{OD}{OH}$ $\Rightarrow OB\cdot OD=OP\cdot OH..(2)$ .

Προκύπτει $OZ\cdot OC=OP\cdot OH\Rightarrow\dfrac{OZ}{OP}=\dfrac{OH}{OC}$ και με το αντίστροφο του Θ. Θαλή παίρνουμε $PC\parallel ZH$

Aν επιπλέον ισχύει DZ=BE

τότε η

είναι η διχοτόμος της $\widehat{BCD}$ . Αυτή η τελευταία ιδιότητα ..ίσως φανεί χρήσιμη και αλλού..

Φιλικά , Γιώργος .

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:...

Aν επιπλέον ισχύει τότε η είναι η διχοτόμος της $\widehat{BCD}$ . Αυτή η τελευταία ιδιότητα ..ίσως φανεί χρήσιμη και αλλού..

Φιλικά , Γιώργος .

Καλησπέρα σε όλη την παρέα.

Πράγματι Γιώργο η παραλληλία αυτή είναι γνωστή και ενδιαφέρουσα για άλλες προτάσεις (μερικές και αρκετά δύσκολες όπως έχει αποδειχθεί).

Αποδείξεις τις εν λόγω παραλληλίας (και σε γενικότερη μορφή) αλλά και η μεγάλη της αξία φαίνεται στην [/color][color=#000000][b][i]η εκ του N ... b][/color].

Με εκτίμηση
Στάθης

Νέα παραλληλία

Νέα παραλληλία

Re: Νέα παραλληλία

Re: Νέα παραλληλία

Re: Νέα παραλληλία

Re: Νέα παραλληλία

Re: Νέα παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση