Επανάληψη Lagrange.

Ωmega Man · #1

Να βρεθούν η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της $\displaystyle{\bf f(x,y)=4x^2+10y^2}$ στον δίσκο $\bf\displaystyle{x^2+y^2\leq 4}$ .

#2

Είναι $0\leq f(x,y)\leq 10\left(x^2+y^2 \right)\leq 40.$ Η ελάχιστη τιμή είναι το 0 και η μέγιστη το 40.
Το ελάχιστο επιτυγχάνεται στο (0,0) και το μέγιστο στο (0,2) ή στο (0,-2).

Ωmega Man · #3

Σωστά! Τονίζοντας ότι στο (0,0) υπάρχει ακρότατο το οποίο ικανοποιεί την ανισότητα. Ζητούσα όμως άλλο τρόπο.

#4

ΛΥΣΗ: $f:{\mathbb{R}}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\,;\quad f(x,y)=4x^2+10y^2$ , $\Delta=\left\{{({x,y})\in{\mathbb{R}}^2:\,x^2+y^2\leq4}\right\}$ .

Γιά κάθε $({x,y})\in{\Delta}$ , ισχύει $f({x,y})=4x^2+10y^2\geq0=f({0,0})$ . Επομένως η

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στό ({0,0})

.

Γιά τήν εύρεση πιθανών ακροτάτων τής

στό σύνολο $\Delta$ , θεωρούμε τήν συνάρτηση $F({x,y})=f(x,y)+\lambda\left({x^2+y^2-4}\right)$ , $x,y\in{\Delta}$ .

Ο πίνακας $\left({\begin{array}{cc} \frac{\partial\left({x^2+y^2-4}\right)}{\partial{x}}&\frac{\partial\left({x^2+y^2-4}\right)}{\partial{y}} \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc} 2x & 2y \end{array}}\right)$ , γιά $({x,y})\neq({0,0})$ , έχει βαθμίδα

καί γιά τήν εύρεση τών τοπικών ακροτάτων θά χρησιμοποιηθεί η μέθοδος τών πολλαπλασιαστών $\rm{Lagrange}$ .

$\left\{{\begin{array}{r} \nabla{F}={\bf{0}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} x^2+y^2=4 \end{array}}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{{\begin{array}{r} 8x+2\lambda{x}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 20y+2\lambda{y}=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} x^2+y^2=4 \end{array}}\right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{{\begin{array}{r} x=\pm2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \lambda=-4 \end{array}}\right\}$ ή $\left\{{\begin{array}{r} x=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} y=\pm2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \lambda=-10 \end{array}}\right\}$ .

Γιά $\lambda=-4$ ο Εσσιανός πίνακας τής

στά $({\pm2,0})$ είναι ${\rm{H}}=\left({\begin{array}{cc} 0 & 0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0 & 12 \end{array}}\right)$ .
Άν $\Omega=\left\{{({h_1,h_2})\in{\mathbb{R}}^2:\,\pm2h_1+0h_2=0}\right\}=\left\{{({0,h_2}):\,h_2\in\mathbb{R}}\right\}$ , τότε, γιά κάθε μή-μηδενικό $({h_1,h_2})\in\Omega$ , ισχύει $({0,h_2})\cdot{\rm{H}}\left({\begin{array}{c} 0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} h_2 \end{array}}\right)=12h_2^2>0$ .
Άρα στά σημεία $({\pm2,0})$ η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο μέ ελάχιστη τιμή $f({\pm2,0})=16$ .

Γιά $\lambda=-10$ ο Εσσιανός πίνακας τής

στά $({0,\pm2})$ είναι ${\rm{H}}=\left({\begin{array}{cc} -12 & 0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0 & 0 \end{array}}\right)$ .
Άν $\Omega=\left\{{({h_1,h_2})\in{\mathbb{R}}^2:\,0h_1\pm2h_2=0}\right\}=\left\{{({h_1,0}):\,h_1\in\mathbb{R}}\right\}$ , τότε, γιά κάθε μή-μηδενικό $({h_1,h_2})\in\Omega$ , ισχύει $({h_1,0})\cdot{\rm{H}}\left({\begin{array}{c} h_1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0 \end{array}}\right)=-12h_1^2<0$ .
Άρα στά σημεία $({0,\pm2})$ η

παρουσιάζει ολικό μέγιστο μέ μέγιστη τιμή $f({0,\pm2})=40.\quad\square$

Επανάληψη Lagrange.

Επανάληψη Lagrange.

Re: Επανάληψη Lagrange.

Re: Επανάληψη Lagrange.

Re: Επανάληψη Lagrange.

Μέλη σε σύνδεση