Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

oxynous78 · #1

Αν $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$ και $|h(x)| \leqslant M$ για κάθε

τότε να δειχθεί ότι $\lim\limits_{x \to 0} g(x)h(x)=0$ και να δειχθεί με τον ε-δ ορισμό.

χρηστος ευαγγελινος · #2

Για κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 ώστε $|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{2M}$ . Άρα θα είναι $|x|<\delta \Rightarrow |g(x)h(x)|=|g(x)||h(x)|\leq \frac{\epsilon}{2M}M=\frac {\epsilon}{2}<\epsilon$ το ζητούμενο.

#3

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:Για κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 ώστε $|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{{\color {red} 2M}}$ . Άρα θα είναι $|x|<\delta \Rightarrow |g(x)h(x)|=|g(x)||h(x)|\leq \frac{\epsilon}{2M}M=\frac {\epsilon}{2}<\epsilon$ το ζητούμενο.

Θα συμβούλευα να μην δίνουμε λύσεις σε απλές ασκήσεις που είναι προφανώς "ασκήσεις στο σπίτι" σε μαθήματα που παρακολουθεί κανείς. Αλλιώς ΔΕΝ τον βοηθάμε να μάθει Μαθηματικά. Του κάνουμε περισσότερη ζημιά από καλό, ιδίως σε περιπτώσεις σαν την παραπάνω που η άσκηση είναι σχεδόν τετριμμένη.

Αν πάλι επιμένουμε να δίνουμε λύσεις, τότε ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ πρέπει να είναι σωστές: Στην παραπάνω λύση έχουμε πρόβλημα στο σημείο που σημείωσα με κόκκινο, αν τύχει και το

ισούται με

.

Τέλος, ας μην ξεχνάμε ότι ΔΕΝ ΑΠΑΝΤΑΜΕ σε θέματα που δεν είναι γραμμένα σε latex, όπως ορίζουν οι κανονισμοί μας.

oxynous78 · #4

Και η σωστή εκδοχή ποιά είναι τελικά;

#5

oxynous78 έγραψε:Και η σωστή εκδοχή ποιά είναι τελικά;

Πρώτα απ' όλα δες την τελευταία γραμμή στο μήνυμά μου, από την λέξη "Τέλος" και πέρα.

χρηστος ευαγγελινος · #6

Αν Μ=0 είναι τετριμμένο το ζητούμενο. Ζήτω η αυστηρότητα! Έχετε δίκιο.

#7

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:Αν Μ=0 είναι τετριμμένο το ζητούμενο. Ζήτω η αυστηρότητα! Έχετε δίκιο.

Τα Μαθηματικά είναι Μαθηματικά και η πληρότητα απαραίτητη.

Πιο καλά, για να μην διακρίνουμε την περίπτωση M=0

ή όχι, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το βήμα

$|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{2M}$

με το

$|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{M+1}$

χρηστος ευαγγελινος · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
χρηστος ευαγγελινος έγραψε:Αν Μ=0 είναι τετριμμένο το ζητούμενο. Ζήτω η αυστηρότητα! Έχετε δίκιο.
Τα Μαθηματικά είναι Μαθηματικά και η πληρότητα απαραίτητη.

Πιο καλά, για να μην διακρίνουμε την περίπτωση ή όχι, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το βήμα

$|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{2M}$

με το

$|x| < \delta \Rightarrow |g(x)|<\frac{\epsilon}{M+1}$

Σε αυτό θα πρέπει να αφιερώσουμε ακόμα λίγη (πολύ λίγη) σκέψη ώστε να δικαιολογήσουμε το $\frac{M}{M+1}<1$ που είναι τόσο προφανές, όσο και η τετριμμένη περίπτωση Μ=0.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Θεωρώ στα παραπάνω ότι η σχέση
$\left | x \right |< \delta$
πρέπει να αντικατασταθεί από την
$0< \left | x \right |< \delta$

#10

χρηστος ευαγγελινος έγραψε: Σε αυτό θα πρέπει να αφιερώσουμε ακόμα λίγη (πολύ λίγη) σκέψη ώστε να δικαιολογήσουμε το $\frac{M}{M+1}<1$ που είναι τόσο προφανές, όσο και η τετριμμένη περίπτωση Μ=0.

Ίσως δεν έγινα κατανοητός.

Αν δεις το αρχικό μου μήνυμα λέω ότι ΟΛΗ η άσκηση είναι τεριμμένη, πόσο μάλλον το επιμέρους βήμα.

Το νόημα της παρέμβασής μου ήταν ότι στην δοθείσα λύση υπάρχει κενό, ανεξάρτητα από το πόσο απλό είναι να διευθετηθεί. Πρέπει όμως να αναφερθεί η εν λόγω περίπτωση, για λόγους πληρότητας.

χρηστος ευαγγελινος · #11

Και βέβαια έπρεπε να αναφερθεί, συμφωνώ. Πολύ ωραία. Άρα τώρα έχουμε δύο λύσεις. Μία με περιπτώσεις (Μ=0 ή Μ όχι μηδέν) και μία που δε χρειάζεται η διάκρισή τους, βάζοντας για παρονομαστή το Μ+1.

Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Re: Μηδενική επί φραγμένη με ''ε-δ''

Μέλη σε σύνδεση