Συγκλίνουσα ακολουθία

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται η ακολουθία με $a_{1}\epsilon \mathbb{R}$

και $a_{n+1}=\dfrac{\sin \left | a_{n} \right |+\cos a_{n}}{\sqrt{3}}$

Να αποδειχθεί ότι συγκλίνει.

#2

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει $\displaystyle{\sin|x|+\cos{x}=\sqrt{2}\sin\big(|x|+\tfrac{\pi}{4}\big) \,. }$

Θα αποδείξουμε ότι η ακολουθία $a_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,(\sin|a_n|+\cos{a_n})=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\sin\big(|a_n|+\tfrac{\pi}{4}\big)\,,\; n\in\mathbb{N}\,,$ είναι συστολή και μάλιστα ότι για κάθε $n\in\mathbb{N}\,,$ ισχύει $\displaystyle{|a_{n+2}-a_{n+1}|\leqslant\frac{\sqrt2}{\sqrt{3}}\,|a_{n+1}-a_n|\,.}$

Πράγματι

$\begin{aligned} |a_{n+2}-a_{n+1}|&=\bigg|\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\sin\big(|a_{n+1}|+\tfrac{\pi}{4}\big)-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\sin\big(|a_n|+\tfrac{\pi}{4}\big)\bigg|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\leqslant\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\,2\,\bigg|\frac{\big(|a_{n+1}|+\tfrac{\pi}{4}\big)-\big(|a_{n}|+\tfrac{\pi}{4}\big)}{2}\bigg|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\,\big||a_{n+1}|-|a_n|\big|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\leqslant\dfrac{\sqrt2}{\sqrt{3}}\,\big|a_{n+1}-a_n\big|\,. \end{aligned}$

Επειδή η ακολουθία $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ είναι συστολή, είναι συγκλίνουσα. (βλέπε Re: Συστολή (03))

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Πολύ ωραία Γρηγόρη.
Εγώ είχα κάτι άλλο κατά νου.
Η απόλυτη τιμή φεύγει.

Εχούμε ότι $\left | a_{2} \right |\leq \frac{2}{\sqrt{3}}< \frac{\pi }{2}$

οπότε $a_{3}\epsilon (0,\frac{\pi }{2})$

Επαγωγικά παίρνουμε ότι $a_{n}\epsilon (0,\frac{\pi }{2}),n\geq 3$

Θέτοντας $f(x)=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sqrt{3}}$

Εχουμε $a_{n+1}=f(a_{n}),n\geq 3$

Αλλά $\left | f'(x) \right |\leq \sqrt{\frac{2}{3}}=q< 1$

Από ΘΜΤ $\left | f(x)-f(y) \right |\leq q\left | x-y \right |$

Μετά εφαρμόζουμε αυτό
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach_fi ... nt_theorem
το οποίο έχει και άλλες πληροφορίες για την σύγκλιση τέτοιου είδους ακολουθιών.

Συγκλίνουσα ακολουθία

Συγκλίνουσα ακολουθία

Re: Συγκλίνουσα ακολουθία

Re: Συγκλίνουσα ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση