Δυναμικό

Ειρήνη 33 · #1

Χαίρετε!

Έστω ένα σωματίδιο αναγκασμένο να κινείται πάνω στη σφαίρα x^2+y^2+z^2=1

, το οποίο υπόκειται σε δυνάμεις βαρύτητας καθώς και σε ένα πρόσθετο δυναμικό V(x,y,z)=x+y

. Θέλω να βρω τα ευσταθή σημεία ισορροπίας.

Τι εννοείται με δυναμικό;

Πώς μπορώ να βρώ όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σωματίδιο;

BooksForSale · #2

Απαντώ σε αυτό το ερώτημα παρότι πέρασαν τα χρόνια, με την ελπίδα να αποτελέσει παράδειγμα για κάποιον άλλον.

Θα υπολογίσουμε τις εξισώσεις Lagrange του συστήματος. Η κινητική ενέργεια του σωματιδίου θα είναι

$T=\frac{1}{2}(\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)+\dot{z}^2(t))$ ,

όπου θα χρειαστεί να αντικαταστήσουμε το z από την σχέση $z(t)=\sqrt{1-x^2(t)+y^2(t)}$ .

Η δυναμική ενέργεια θα αποτελείται από το άθροισμα E=-(mgz(t)+V(x(t),y(t)))

, οπότε η συνάρτηση Lagrange έχει τη μορφή

$L=T-E=\frac{1}{2}(\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)+\dot{z}^2(t))+mgz(t)+x(t)+y(t)$ .

Από εδώ ξεκινά η τυπική διαδικασία. Οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν το σύστημα

$\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \dot{x}}L= \frac{\partial}{\partial x}L, \ \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial}{\partial \dot{y}}L= \frac{\partial}{\partial y}L$

και αναζητούμε τα σημεία ισορροπίας αυτού.

BooksForSale · #3

Αν οι πράξεις μου είναι σωστές, οι εξισώσεις γράφονται

$\ddot{x}+\frac{mgx}{z}=1, \ \ddot{y}+\frac{mgy}{z}=1$

άρα το σημείο ισορροπίας (δηλ. $\ddot{x}=\ddot{y}=0$ ) θα δίνεται από τις σχέσεις $x_0=y_0=(2+m^2g^2)^{-1}, z_0=\pm \sqrt(1-x_0^2-y_0^2).$

Δυναμικό

Δυναμικό

Re: Δυναμικό

Re: Δυναμικό

Μέλη σε σύνδεση