Ψηλοί και κοντοί

#1

Σε ένα κυκλικό τραπέζι κάθονται 2015 άτομα, τα οποία έχουν διαφορετικά ύψη ανά δύο. Ένα άτομο λέγεται ψηλό αν είναι πιο ψηλό και από τα δύο διπλανά του.
Πόσα ψηλά άτομα είναι δυνατόν να κάθονται στο τραπέζι;

raf616 · #2

socrates έγραψε:Σε ένα κυκλικό τραπέζι κάθονται 2015 άτομα, τα οποία έχουν διαφορετικά ύψη ανά δύο. Ένα άτομο λέγεται ψηλό αν είναι πιο ψηλό και από τα δύο διπλανά του.
Πόσα ψηλά άτομα είναι δυνατόν να κάθονται στο τραπέζι;

Καλησπέρα Θανάση! Μία προσπάθεια:

Καταρχάς, παρατηρούμε ότι μπορούμε να έχουμε το πολύ 1007

ψηλούς. Πράγματι, είναι προφανές ότι δύο ψηλοί δεν μπορούν να κάθονται δίπλα-δίπλα και επομένως έχουμε το

πολύ $\lfloor{2015/2\rfloor} = 1007$ ψηλούς. Ακόμα υπάρχει τουλάχιστον

ψηλός αφού κάποιος έχει μέγιστο ύψος.

Θα δείξω τώρα ότι μπορούμε να έχουμε πλήθος ψηλών το οποίο μπορεί να πάρει όλες τις τιμές από

ως

.

Έστω ότι έχουμε $1 \leq k \leq 1007$ ψηλούς. Έστω επίσης $A_1, A_2, ..., A_{2015}$ τα άτομα αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού και $a_1, a_2, ..., a_{2015}$ τα αντίστοιχα ύψη

τους. Δίνουμε στα άτομα ύψη ως εξής:

$a_i = i, 1 \leq i \leq 2(1008-k)$ , $a_{2015} = 2015$

$a_{2i+1} = 2i+2, 1008-k \leq i \leq 1006$

$a_{2i} = 2i-1, 1009-k \leq i \leq 1007$

Εύκολα τώρα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η παραπάνω κατασκευή δουλεύει και έτσι το ζητούμενο βρέθηκε.

Α.Αποστόλου · #3

Να δώσω μια δεύτερη ματιά που θα την "κρύψω" μήπως θέλει κάποιος μαθητής να το σκεφτεί μόνος του, αφού είναι σχετικά απλό από άποψης θεωρίας.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ψηλοί και κοντοί

Ψηλοί και κοντοί

Re: Ψηλοί και κοντοί

Re: Ψηλοί και κοντοί

Μέλη σε σύνδεση