Θετικό ολοκλήρωμα

#1

Έστω $\displaystyle{f}$ συνάρτηση ορισμένη στο $\displaystyle{[0,2\pi ]}$ , δύο φορές παραγωγίσιμη , με συνεχή δεύτερη παράγωγο
και τέτοια ώστε $\displaystyle{f''(x)>0}$ για κάθε $\displaystyle{\,\,x\,\,}$ με $\displaystyle{0<x<2\pi }$ . Δείξετε ότι : $\displaystyle{\int\limits_0^{2\pi } {f(x)\cos (x)dx} > 0}$

#2

Αρκετά δύσκολη άσκηση, εκτός και αν δεν βλέπω κάτι απλό. Γράφω τη βασική ιδέα και αν δεν βρεθεί κάτι απλούστερο θα την αναπτύξω αργότερα.

Ξεκινάμε με

$\displaystyle{\int_{[0,2\pi]}=\int_{[0,\pi]}+\int_{[\pi, 2\pi]}}$

Στο δεύτερο κάνουμε την αλλαγή $\displaystyle{x=2\pi -t}$ και αναγόμαστε στην

$\displaystyle{\int_{[0,2\pi]}=\int_{[0,\pi]}(f(x)+f(2\pi-x))\cos dx}$

Σε αυτό το ολοκλήρωμα κάνουμε τη διάσπαση

$\displaystyle{\int_{[0,\pi]}(f(x)+f(2\pi-x))\cos dx=\int_{[0,\pi/2]}+\int_{[\pi /2,\pi ]}}$

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα κάνουμε την αλλαγή $\displaystyle{x=\pi -t}$ και τελικά προκύπτει ότι το αρχικό ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(f(x)+f(2\pi -x)-f(\pi -x)-f(\pi +x))\cos xdx.}$

Απομένει να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση μέσα στην παρένθεση είναι θετική.

Θεωρώντας $\displaystyle{g(x)=f(x)+f(2\pi -x)-f(\pi -x)-f(\pi +x)}$ , βρίσκουμε

$\displaystyle{g'(x)=f'(x)-f(2\pi -x)+f'(\pi -x)-f'(\pi +x)<0}$ λόγω γνησίως αύξουσας $\displaystyle{f'.}$

Τότε

$\displaystyle{x\leq \frac{\pi}{2}\implies g(x)\geq g\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=0}$ κτλ.

Antonis_Z · #3

Μια δεύτερη λύση(ελπίζω σωστή).

$\int_{0}^{2\pi}{f(x)(sinx)'}dx=-\int_{0}^{2\pi}{f'(x)sinx}dx=\int_{0}^{2\pi}{f'(x)(cosx)'}dx=f'(2\pi)-f'(0)-\int_{0}^{2\pi}{f''(x)cosx}dx=\int_{0}^{2\pi}{f''(x)}dx-\int_{0}^{2\pi}{f''(x)cosx}dx=\int_{0}^{2\pi}{f''(x)(1-cosx)}dx>0$

#4

Antonis_Z έγραψε:Μια δεύτερη λύση(ελπίζω σωστή).

$\int_{0}^{2\pi}{f(x)(sinx)'}dx=-\int_{0}^{2\pi}{f'(x)sinx}dx=\int_{0}^{2\pi}{f'(x)(cosx)'}dx=f'(2\pi)-f'(0)-\int_{0}^{2\pi}{f''(x)cosx}dx=\int_{0}^{2\pi}{f''(x)}dx-\int_{0}^{2\pi}{f''(x)cosx}dx=\int_{0}^{2\pi}{f''(x)(1-cosx)}dx>0$

Εξαιρετική λύση Αντώνη. Μπράβο!

Θετικό ολοκλήρωμα

Θετικό ολοκλήρωμα

Re: Θετικό ολοκλήρωμα

Re: Θετικό ολοκλήρωμα

Re: Θετικό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση